Слабая топология банахова пространства с сепарабельными двойственными

Question

Позволять $B$ - банахово пространство с сепарабельным двойственным и пусть $(f_n)$ быть плотным и счетным в $B^*$. Позволять$\tilde{\tau}$ начальная топология, связанная с набором карт $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$.

Мой вопрос : это$\tilde{\tau}$ стандартная слабая топология на $B$?

Моя попытка :

Позволять $\tau$ обозначим слабую топологию на $B$. Очевидно,$\tau$ делает все $f_n$непрерывно. Быть$\tilde{\tau}$ наименьший из них, $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$

Наоборот, я пытался рассуждать на основе таких топологий. Исправить произвольный$x_0 \in B$, $\epsilon >0$ и $g_1,...,g_N \in B^*$ и напомним, что $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ открытый район $x_0$ в $\tau$. В заключение достаточно показать, что существует открытая окрестность$\tilde{U}$ из $x_0$ в $\tilde{\tau}$ так что $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$.

Я предполагаю заплатить немного $\tilde{\epsilon}$ в требовании $f_{n_i} \approx g_i$ для всех $i=1,..,N$ и определить $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$, но я изо всех сил пытаюсь ограничить срок $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ равномерно на $x$.

Answer 1

Если $(f_n)$ должна быть плотной в норме $B^{*}$тогда это довольно просто. Позволять$f \in B^{*}$. Существуют$n_1<n_2<...$ такой, что $\|f_{n_i}-f\| \to 0$. Отсюда следует, что$f_{n_i} \to f$ равномерно на любом шаре в $B$. Поскольку каждый$f_{n_i}$ непрерывно относительно $\overline {\tau}$ это следует из того $f$ также непрерывно относительно $\overline {\tau}$. Таким образом, каждый$f \in B^{*}$ непрерывно относительно $\overline {\tau}$. Следовательно$\tau \subset \overline {\tau}$.