Слабая топология нормированного пространства
Позволять $X,Y$ быть двумя нормированными пространствами и $T:X\rightarrow Y$ - линейный ограниченный оператор. Теперь рассмотрим $X,Y$со слабой топологией. Мой вопрос в том, что$T$ отображает слабо компактное множество $X$ к слабо компактному множеству $Y$ и второй вопрос в том, что $T$ остается непрерывной картой, если мы снабдим $X,Y$ со слабой топологией.
Ответы
Если $V$ является суббазовым элементом $\tau_w$ в $Y$ содержащий $0_Y$, то есть функционал $\phi:Y\to \mathbb F$ и $\epsilon>0$ такой, что $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Потом,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. В настоящее время$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ является (по норме) непрерывным линейным функционалом, поэтому $T^{-1}(V)$ слабо открыт в $X$ и содержит $0_X$. Это следует из того$T$слабо-слабое непрерывное. Это дает утвердительный ответ на второй вопрос, который, в свою очередь, дает утвердительный ответ на первый.
Этот ответ не дает ничего нового, но я думаю, что объяснение с точки зрения последовательностей может быть более ясным. Вопрос о компактности следует из непрерывности от слабой к слабой (импликация верна для произвольных топологий), поэтому достаточно показать последнюю.
Предположим $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Тогда для всех$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. В частности, любой двойственный вид$g\circ T$, где $g\in Y^*$, удовлетворит $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Но это просто $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.