Сохраняет ли слабая сходимость неатомарных мер к неатомарному пределу абсолютную непрерывность?
Позволять $\mu_n$, $\mu$ и $\nu$ - неатомные борелевские меры на общем хаусдорфовом топологическом пространстве, такие что $\mu_n$ абсолютно непрерывны относительно $\nu$. Слабая сходимость$\mu_n \to \mu$ (в смысле теории вероятностей, т.е. определенных в терминах ограниченных непрерывных функций) следует, что $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$?
Без исключения атомов ответ будет отрицательным, см. Например здесь .
Если в описанной выше неатомной ситуации ответ по-прежнему отрицательный, имеет ли значение предположение, что все меры будут регулярными по Борелю или Радону?
Ответы
Предположим, ваше пространство $\mathbb{R}^2$, позволять $\mu$ - равномерное распределение на окружности, и пусть $\nu$быть мерой Лесбега. Позволять$\mu_n$ - равномерное распределение в кольцевом пространстве $B[0,1]\setminus B[0,1-1/n]$. потом$\mu_n$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$, но $\mu_n\to \mu$слабо. Так как$\mu$ поддерживается в нулевом наборе, $\mu$ не является абсолютно непрерывным относительно меры Лесбега.
Обратите внимание, что все эти меры - радоновые.