Сомнения в доказательстве Moser Iteration в книге Гилбарга и Трудингера

Question

Я читал теорему 8.15 об итерации Мозера в монографии Гилбарга и Трудингера. Я понимаю все этапы данного доказательства, но у меня есть следующие сомнения, которые не могут быть устранены внимательным чтением.

1. Авторы в качестве гипотезы теоремы требуют, чтобы $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ и $g\in L^{q/2}(\Omega)$ для некоторых $q>n$ но похоже, что они нигде не использовали эти факты в доказательстве: так ли это, и если нет, то на каких этапах используются эти факты?

2. Теорема неверна для $q\le n$?

Пожалуйста, помогите мне полностью понять это доказательство.

Здесь я загрузил снимок теоремы.

Уравнение 8.3

\ begin {уравнение} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {уравнение} .

Уравнение 8.30

\ begin {уравнение} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {уравнение}

Уравнение 8.32

\ begin {уравнение} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {уравнение}

Уравнение 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Любая подсказка будет принята с благодарностью

Answer 1

это определенно нуждается в условии $f^i\in L^q(\Omega)$ и $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. Во время доказательства нужно выбрать $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(выше уравнения (8.37)). Это возможно тогда и только тогда, когда$q>\hat n$.

2. Теорема в общем случае неверна. $q\leq n$. Ключ к разгадке можно получить из$W^{2,p}$оценки эллиптических уравнений. Рассмотрим особый случай,$f=0$ и $Lu=g$ с участием $u=0$на границе. В$W^{2,p}$ примерно говорит $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Напомним теорему вложения Соболева, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ если $q>n$, в то время как это неверно, когда $q\leq n$.

В качестве контрпримера можно взять всего один элемент $g\in W^{2,n/2}$ но не в $g\not\in L^\infty(\Omega)$. потом$$\Delta u=\Delta g$$ есть решение $u$ а (8.34) не может быть верным.