Сомнение в вопросе вероятности: определение вероятности смерти мужчины в следующем году

Question

Постановка проблемы : Есть$n$ мужчины $A_1,A_2,...,A_n$ каждый в возрасте $x$ год и вероятность того, что каждый из них умрет в следующем году, составляет $p$. Какова вероятность того, что$A_1$ умрет в следующем году и умрет первым?

Я пытался решить это так:
Пусть$P(A_i)=p=$ вероятность $A_i$ смерть в следующем году; $P(\bar A_i)=$Вероятность $A_i$не умру в следующем году
Пусть$E=$ событие, которое $A_1$ умрет в следующем году и умрет первым

$P(E)=P(A_1\cap \bar A_2\cap \bar A_3\cap...\cap \bar A_n)=P(A_1)(1-P(A_2))...(1-P(A_n)=p(1-p)^{n-1} \tag{1}$

В качестве альтернативы рассмотрим $F=$ событие, которое по крайней мере одно из $n$ мужчины умирают.
$P(F)=1-$ Вероятность того, что никто не умрет =$1-(1-p)^n$ и, следовательно, вероятность того, что $A_1$ умирает первым =$\frac{1-(1-p)^n}{n}\tag{2}$ (потому что вероятность смерти каждого из мужчин одинакова)

Интересно, почему оба ответа в $(1)$ а также $(2)$разные. Пожалуйста, помогите мне понять. Спасибо.

Answer 1

$(1)$ Не учитывает тот факт, что несколько человек могут умереть в один год и $A_1$по-прежнему быть первым, кто умрет из них. Например, если мы знаем, что$A_1$ а также $A_2$ умереть в следующем году, есть $1/2$ шанс $A_1$ умер первым, а $1/2$ шанс $A_2$умер первым. Если$A_1$ а также $A_2$ умереть в следующем году, и $A_1$ умер первым, это не было бы участником события $E$. Следовательно$P(E)$ это не правильный ответ на проблему. $(2)$ правильное рассуждение.