Сравнение наборов простых чисел-близнецов с другими наборами. Почему есть максимальное и минимальное значение?
Я взял 2 набора: первый - это последовательный список первых простых пар близнецов. Второй - это последовательный список чисел: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
Затем я сравнил списки, разделив номера второго списка на номера первого списка, и наблюдается устойчивый рост распределения (как показано на рисунках ниже).
Если вы проанализируете данные (как показано на рисунках ниже), вы заметите, что:
Если колебание столбца E слишком велико (обычно выше 1,1), то «следующая» пара близнецов должна быть меньше пары «current:», что приводит к ошибке.
Вы также можете заметить, что колебание столбца E никогда не бывает слишком низким (вероятно, не менее 0,99 после первых нескольких сотен).
То же самое происходит, если я заменяю столбец C квадратами 1,4,9,16,… или произвольным квадратичным многочленом.
При замене столбца C константой, равной 1, максимальное значение никогда не переходит 1 (очевидно). Однако после первых нескольких сотен минимальное значение снова, вероятно, будет не менее 0,99.
Может ли кто-нибудь дать мне теоретическое объяснение того, почему это может быть?
Список первых 100000 человек в столбце C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
Список первых 100000 с столбцом C: с квадратами 1,4,9,16,25 ...
Список первых 100000 со столбцом C: константа = 1
Благодарю.
Ответы
В чем причина этого клубка вычислений?
Позволять $B_2=3,B_3=5,\cdots $быть вашей последовательностью «первого члена пары простых близнецов». По какой-то причине начиная с индекса$2.$ Мы не знаем, что это бесконечная последовательность, но сильно подозреваем, что это с $B_n \approx k n (\ln n)^2$ для некоторой постоянной $k.$ Есть предположения о $k$но здесь это не имеет значения. Итак, для правдоподобного объяснения мы можем сказать, что$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ определенно больше, чем $1$но приближаясь к нему устойчивым средним темпом. Возможно с$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ Или, чтобы быть особенно безрассудным, $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
Числа $E_n$ вы анализируете точно $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ Итак, есть ваше объяснение, почему они иногда выше $1$ а иногда и ниже, со сходимостью к $1.$
Отступление: после нескольких первых пар каждый член последовательности $11,17$ или же $29 \bmod 30.$Возможно, это вносит небольшую комковатость. Я не знаю. Вы можете проверить, больше ли или меньше$1$ поведение коррелирует с классом конгруэнтности $\bmod 30$ будучи $11$ против $17$ или же $29.$ Если да, то такое поведение продолжится или исчезнет?
Последовательность $C_1=1,C_2=3,\cdots $ треугольных чисел имеет $C_n=\frac{n(n+1)}2$ так $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ точно.
Вы определяете $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ а затем для $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
Если вместо двойных простых чисел вы использовали простые числа, с $p_n \approx n\ln n,$результаты должны быть примерно такими же, возможно, менее изменчивыми. Если бы вместо треугольных чисел вы использовали квадраты, у вас были бы$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ что очень близко к $\frac{n-1}{n+1}$
Дальнейшие шаги добавления последовательных членов предыдущего столбца или взятия соотношений дают последовательности, которые сходятся к одному или растут как $n.$