Ссылка на запрос: Диофантовы уравнения
Я ищу учебник или, желательно, лекции по теме диофантовых уравнений. Я знаком с основными принципами модульной арифметики, кониками и принципом Хассе, а также с основами эллиптических кривых, теоремой Морделла и т. Д. (Хотя я еще не дошел до того момента, когда смогу понять доказательство).
Мне нужно что-то, что выводит меня за рамки основ. Что-то, что научит меня продвинутой теории, а также научит меня диофантовым поверхностям (а не только кривым).
Ответы
Это может быть хорошим выбором для тех, кто (как и вы) уже поверхностно знаком с некоторыми определениями и методами диофантовой геометрии:
- Марк Хиндри, Джозеф Х. Сильверман - Диофантова геометрия: Введение , Тексты для выпускников по математике 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
Следующие две являются отличными пояснительными статьями (особенно первая), которые в свое время дали мне много вдохновения:
Мазур, Барри. Арифметика по кривым. Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) 14 (1986), нет. 2, 207--259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Мазур, Барри. О переходе от локального к глобальному в теории чисел ( ссылка )
У Анри Дармона есть пара хороших статей на тему рациональных точек на кривых:
Рациональные точки на кривых ( ссылка )
Рациональные точки на модульных эллиптических кривых ( ссылка )
У Энтони Варилли-Альварадо есть несколько очень хороших вводных в тему рациональных точек на различных типах поверхностей:
Лекции по арифметике поверхностей дель Пеццо ( ссылка )
Арифметика поверхностей К3 ( ссылка )
Алексей Скоробогатов читал курс в 2013 году на тему рациональных точек на поверхностях и многомерных многообразий. Примечания обеспечивают отличный баланс между доступностью и общностью:
- Арифметическая геометрия: рациональные точки ( ссылка )
Затем есть эти заметки Йонатана Харпаза о рациональных точках на эллиптических поверхностях:
- Рациональные точки зрения на эллиптические расслоения - Примечания к курсу ( ссылка )
Наконец (на данный момент) у Брендана Хассетта есть хорошая статья на тему потенциальной плотности рациональных точек на многообразиях, которая тоже очень интересна:
- Потенциальная плотность рациональных точек на алгебраических многообразиях ( ссылка )
Например
- Теория чисел: Том I: Инструменты и диофантовы уравнения , Тексты для выпускников по математике 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; и
- Теория чисел: Том II: Аналитические и современные инструменты , Тексты для выпускников по математике 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
пользователя Анри Коэн.
В современной теории трудно продвинуться далеко без некоторой алгебраической геометрии.
Это подход, использованный в книге:
- Бьорн Пунен, Рациональные точки зрения на разновидности , Аспирантура по математике 186 (2017), страница издателя , Автор pdf .
Если вас интересуют применения метода Бейкера, теоремы Шмидта о подпространстве и т. Д., То вам могут понравиться следующие недавние книги Эвертсе и Дьери:
- Дискриминантные уравнения в теории диофантовых чисел , Новые математические монографии, 32, Cambridge University Press, Кембридж, 2017.
- Уравнения единиц в теории диофантовых чисел , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Кембридж, 2015.
К упомянутым выше книгам я бы добавил еще одну:
- Рациональные и почти рациональные многообразия (Кембриджские исследования по высшей математике) Дж. Коллара, К. Э. Смита и А. Корти.
Авторы представляют более или менее элементарный подход к вопросам рациональности, используя сочетание классических и современных методов.