Степень расширения поля трансцендентным элементом

Aug 18 2020

Позволять $F$ быть полем, и пусть $F(x)$ - поле частных кольца многочленов $F[x]$. Меня интересует степень расширения поля$[F(x) : F]$. Очевидно, он бесконечен, но какова его мощность? Это$\aleph_0$? Зависит ли это от поля$F$?

Ответы

6 reuns Aug 18 2020 at 00:05

Естественный $F$-базис $F(x)$ является $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ Таким образом (для $F$ бесконечный) мощность базиса находится между $F$ и $F[x]^2$, т.е. это то же самое, что$F$.

RiversMcForge Aug 18 2020 at 03:23

Для любого бесконечного поля $F$, $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ имеет такую ​​же мощность, что и $F$, и существует сюръективное отображение $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ данный $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ (где $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). поскольку$F[x] \times (F[x])^*$ имеет такую ​​же мощность, что и $F[x]$, результат следует.

Если $F$ конечно, $F[x]$ счетно бесконечно, и по той же логике, что и выше, $F(x)$ также счетно бесконечен.