Связь компактных открытых подгрупп и решеток

Question

Позволять $F$ неархимедово локальное поле, $\mathfrak o$ его кольцо единиц и $\mathfrak p$его единственный максимальный идеал. Я хотел бы показать это$K=GL_2(\mathfrak o)$ - единственная максимальная компактная открытая подгруппа группы $GL_2(F)$ вплоть до сопряженности.

Подсказки, которые мне дают, предлагают связать это с решетками , и я не вижу особой связи. Подсказки следующие:

• показать, что существует $K$-стабильный $\mathfrak o$-решетка (здесь можно взять что угодно $\mathfrak o$-решетка $\Lambda$ а потом $K\Lambda$ является $\mathfrak o$-стабильный)
• показать, что единственный $GL_2(\mathfrak o)$-устойчивые решетки $\mathfrak p^j \oplus \mathfrak p^j$ (Я думаю, это просто вопрос работы со строками / столбцами и просмотра оценок)

Однако что дальше? Я не понимаю, как связать свойства этих решеток с отношением между$K$ и $GL_2(\mathfrak o)$. Заранее спасибо за помощь.

Answer 1

Если у вас две решетки $L, L'$, попытаться найти $g \in GL_2(F)$ такой, что $g(L)=L'$.

Сейчас если $K, K'$ - стабилизирующие подгруппы, соответствующие соответствующим решеткам, как они связаны, используя указанную выше $g$?