Терминология: гладкие представления локально проконечных групп.

Aug 17 2020

Позволять $G$ - локально проконечная группа.

Гладкое представление - это комплексное представление ($V,\rho$) из $G$ такой что стабилизатор любой $v \in V$ открыт.

Можно показать, что (как $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ является группой лжи и имеет NSS), (конечномерное) представление $G$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\ker(\rho)$ открыт.

Следовательно, в конечных размерностях непрерывные представления гладкие.

Кроме того, как $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ а пересечение справа можно считать конечным для конечномерных $V$, гладкое также означает непрерывное. Таким образом, они эквивалентны для конечных размеров.

А как насчет бесконечных измерений? Подразумевает ли одно другое?

В чем причина такой терминологии? Я спрашиваю только потому, что я приучен к мысли, что эти последствия должны быть плавными, подразумевающими непрерывность, а не обязательно наоборот!

Ответы

1 Peng Aug 21 2020 at 18:09

Я полагаю, непрерывный здесь означает карту $P:G \times V \rightarrow V$непрерывна при заданной V дискретной топологии. Тогда из гладкости заведомо следует непрерывность, буквально по определению (проверьте, открыт ли прообраз одного вектора под P)

Но я не думаю, что другая сторона права, поскольку это должно зависеть от группы.

paulgarrett Aug 21 2020 at 18:56

Уже $G=\mathbb Z_p$ действующий на $L^2(\mathbb Z_p)$ преобразованием непрерывно, но легко сделать нелокально постоянные функции в $L^2(\mathbb Z_p)$.

Кроме того, неверно говорить, что гладкие пространства repn «не имеют топологии» или «имеют дискретную топологию». Скорее, они имеют топологию копредела, выраженную как восходящее объединение их конечномерных подпространств. Да, каждая линейная карта из такого пространства является непрерывной ... поэтому неправильные замечания о топологии не приводят напрямую к катастрофе. :)

Так что в лучшем случае для каждого компактного открытого $K$ в $G$подпространство $V^K$ из $K$-фиксированные векторы конечномерны, а $V=\bigcup V^K$. Это не так для$V=L^2(\mathbb Z_p)$, Но это верно для$V$ в $K$-конечные векторы. Такие вещи.