Учитывая случайные переменные iid $\{X_n\}$с конечным вторым моментом. Доказать $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$
Учитывая случайные переменные iid $\{X_n\}$с конечным вторым моментом. Как доказать$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?
Я пробовал неравенство Чебышева:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$но это не сработало, потому что у нас есть только конечный момент второго порядка . Есть ли неравенства более тонкие, чем неравенство Чебышева?
Ответы
$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ где $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. Используйте тот факт, что$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ с момента событий $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ уменьшить до пустого множества и $E|X_1|^{2} <\infty$.
Я докажу следующую лемму, из которой будет следовать ваш ответ.
Позволять $X$ - неотрицательная случайная величина с действительным знаком, такая что $\mathbb E(X)<\infty$. потом$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ Доказательство: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.
поскольку $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ в виде $n\uparrow \infty$ и все случайные величины неотрицательны, по теореме о монотонной сходимости имеем $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$Отсюда следует, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ поскольку $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, мы получили $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$В заключение воспользуйтесь теоремой о сэндвиче. Наконец, в своей проблеме посмотрите на$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$