Упрощать $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$.

Question

Это Упражнение 6 со страницы 44 Анализа I Аманна и Эшера.

Упражнение:

Упростите сумму

\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}

за $m, n \in \mathbb N$.

Подсказка: для $1 \leq j < \ell$ у нас есть $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$.

Моя попытка:

К сожалению, я не понимаю, как пользоваться подсказкой. Я не понимаю, как это соотносится с выражением в сумме.

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}

На этом я застрял. Я не уверен, что это тупик, тем более что подсказку не использовал. Я ценю любую помощь.

Answer 1

Начиная с $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ и используя подсказку с $\ell=m+n+k$ и $j=k$, мы получили $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$Это телескопическая сумма, поэтому ее легко вычислить. А именно, позволяя$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ то рассматриваемая сумма равна $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ который телескопы $a_n-a_{-1}$.