USATST 2013/2 Докажите, что пересечение $XL$ и $KY$ лежит на $BC$.

Aug 20 2020

Позволять $ABC$быть острым треугольником. Круг$\omega_1$, диаметром $AC$, пересекает сторону $BC$ в $F$ (Кроме как $C$). Круг$\omega_2$, диаметром $BC$, пересекает сторону $AC$ в $E$ (Кроме как $C$). Рэй$AF$ пересекает $\omega_2$ в $K$ и $M$ с участием $AK < AM$. Рэй$BE$ пересекает $\omega_1$ в $L$ и $N$ с участием $BL < BN$. Докажи, что линии$AB$, $ML$, $NK$ совпадают

Мой прогресс :

Претензия :$K,M,L,N$ циклический

Доказательство : Пусть$NM\cap KL=H$. Обратите внимание, что$H$ будет ортоцентром $ABC$ .

По POP, $NH\cdot HM= CH\cdot CF=KH\cdot HL$.

Претензия :$C$ это центр $(KMLN)$

Доказательство : поскольку$CA$ - диаметр, мы имеем CA как серединный перпендикуляр к $LN$ .

так же $CB$ является серединным перпендикуляром к $KM$ .


Теперь я просто хочу показать, что AB - полярный $H$ wrt $(KLMN)$. Тогда по теореме Брокара я знаю, что$NK\cap LM \in AB $.

Ответы

1 Soumik Aug 20 2020 at 12:34

Достаточно показать, что полярная $H$ проходит через $A$ так же как $B$. По симметрии достаточно показать полярность$H$ проходит через $A$ или, что то же самое, полярный $A$ проходит через $H$.

Вы знаете полярность $A$ перпендикулярно $AC$

Заметьте, что $$AC.AE=AK.AM= AC^2-r^2$$ где $r$ это радиус круга $KLMN$.

Переписывая это как $$AC^2-r^2= AC.(AC-EC)$$ $$ \implies AC.EC=r^2$$

Таким образом, полярная $A$ wrt $KLMN$ линия, перпендикулярная $AC$ и проходит через $E$. Другими словами, это линия$BE$ и, следовательно, проходит через $H$.

Примечание. Вероятно, существует некоторое несоответствие между маркировкой в ​​вопросе и на диаграмме. Мой ответ следует обозначению диаграммы.