Условное ожидание с множественной обусловленностью
Для любых автофургонов $X$ и $Y$:
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
Но я не могу этого доказать. Я пробовал использовать закон Адама с дополнительным условием ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$), но я, кажется, ничего не добился.
Я пробовал следующее:
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ Поскольку событие $X$ случилось и $g(X)$ произошло эквивалентно, кондиционирование на обоих $X$ и $g(X)$это то же самое, что кондиционирование только одного из них. Есть ли интуитивная интерпретация этого?
Означает ли это также, что кондиционирование $X$ или любая функция $g$ из $X$ то же самое ?
Ответы
Это частный случай свойства условных ожиданий башни, которое утверждает, что если $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ тогда $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ Воспользуйтесь вторым из этих равенств с $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ и $\mathcal F_2=\sigma(X)$.
Аргумент, который у вас уже есть, является довольно хорошим аргументом, не связанным с теорией меры. Я просто формализую это ниже, это может помочь придать уверенности в некоторых деталях.
Используя вашу структуру аргументов: пусть $g(X)=E[Y|X]$. потом\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}где (а) использует закон повторных ожиданий; (Автобусы$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) использует$E[Z|Z]=Z$ для любой случайной величины $Z$. $\Box$
Шаг (b) более подробно рассмотрен: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ и это интуитивно означает, что если мы уже знаем $X$, то дополнительная информация $g(X)$ ничего нового не добавляет.
Заметки:
Кондиционирование на $X$ обычно не то же самое, что кондиционирование $g(X)$, но он работает именно в этой проблеме.
Вывод теории меры может быть дан в соответствии с моим первым комментарием к вашему ответу. Вы также можете оправдать$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ более формально теорией меры («сигма-алгебра, порожденная $(g(X),X)$ то же самое, что и сигма-алгебра, порожденная $X$").
Формальное определение теории меры говорит о «версиях» условного ожидания, и я не буду вдаваться в подробности в этом ответе (некоторые люди могут захотеть заменить мои равенства равенствами, которые выполняются «с вероятностью 1»).