В чем разница между этими двумя решениями этого вероятностного вопроса?
Проблема: 8 одинаковых шаров случайным образом складываются в три мешочка. Какова вероятность, что в первом мешке будет 3 мяча?
Решение, которое я придумал: мы можем распределить 8 одинаковых мячей по 3 разным сумкам 45 способами. Из этих 45 способов, 6 способов, первая сумка будет содержать ровно 3 мяча. Итак, вероятность равна$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$
Но с биномиальным распределением, и именно так большинство людей (на Quora) решали этот вопрос, и этот подход также кажется довольно интуитивным, вероятность того, что мяч будет помещен в первую сумку, равна 13. Вероятность что ровно 3 из 8 мячей попадут в первый мешок, можно определить с помощью биномиального распределения:
8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273
Я просто хочу знать, почему ответы на эти два подхода очень разные?
Ответы
В задаче говорится, что шары размещаются «случайным образом», но не указывается случайное распределение или процесс, с помощью которого эти шары размещаются. Ответ определенно зависит от этой информации. Например:
- Если кто - то список всех 45 путей , что шары могли бы в конечном итоге, а затем выбирает один из этих 45 способов равномерно в случайном порядке, то ответ$2/15$ как вы сказали.
- Если, независимо друг от друга , каждый шарик помещается в одном из трех мешков равномерно в случайном порядке, то ответ$1792/6561$ как сказал ответ Quora.
Это не единственные две возможности. Если кто-то подбрасывает монету и кладет все шары в первую сумку, если монета решка орла, и кладет все монеты во вторую сумку, если монета решка, это все равно помещает шары «наугад», но ответ на вопрос был бы$0$.
Нам всегда нужно указывать распределение вероятностей. Если мы хотим, чтобы шары помещались в пакеты равномерно и независимо, мы должны сказать это (хотя это было бы моим лучшим предположением относительно намерений автора).