В поисках разнообразия, которое описывало бы полугруппы, точно представимые как правильные переводы.

Question

Если $G$ группа, мы видим, что биекция $y\mapsto y_r$, где $(x)a_r = xa$, функции, записанные справа, является изоморфизмом групп.

Таким образом, у нас есть интересная интерпретация групп как переводов.

Вдохновленный этим пусть $S$быть любой магмой. Рассмотрим такую ​​же операцию правильного перевода на$S$. Мы можем задать вопрос, когда эта карта$y\mapsto y_r$ гомоморфизм.

Ясно, что это тогда и только тогда. $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ для любого $x, a, b$, это, $(xa)b = x(ab)$.

Таким образом, из простого вопроса о сдвигах, образующих гомоморфизм, мы естественным образом пришли к определению полугруппы.

Мы можем задать себе другой вопрос, когда это отображение является изоморфизмом? Это изоморфизм тогда и только тогда, когда$y\mapsto y_r$ инъективен, и это если и только если $(x)a_r = (x)b_r$, это, $xa = xb$ подразумевает $a = b$ для всех $x, a, b$.

Такие полугруппы называются слабо редуктивными слева, сокращенно lwr полугруппами.

Однако здесь есть серьезная проблема: полугруппы lwr не образуют разнообразия среди структур с бинарными операциями. Очевидно, что если$S$ полугруппа, не являющаяся полугруппой lwr, то $S^1$, где $S\mapsto S^1$это операция добавления элемента идентичности, является полугруппой lwr. Но потом$S^1$ содержит $S$ как его подполугруппа, так что подполугруппа полугруппы lwr не обязательно должна быть полугруппой lwr.

Но есть класс полугрупп, которые образуют множество, возможно, не как структуры с бинарными операциями, а с добавлением нулевого элемента. Это левые моноиды$(S, \cdot, e)$ где $\cdot$ это бинарная операция, $e$ является нулевым элементом, и есть две идентичности: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$.

Как класс полугрупп, возникший из-за забвения операции $e$ т.е. $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$, все левые моноиды являются lwr полугруппами.

У меня вопрос, можем ли мы найти какую-нибудь структуру $(S, \cdot, \mathscr{F})$ где $\mathscr{F}$ обозначает множество всех $n$-арные функции для $n\in\mathbb{N}_0$ Кроме как $\cdot$ , бинарная функция и тождества, так что набор алгебр, удовлетворяющих этим тождествам, образует разнообразие, а отображение $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ для любой алгебры из этого многообразия превращает ее в полугруппу lwr, и так, чтобы класс множеств, полученных таким образом, был максимальным, или если это невозможно.

Для начала, если разнообразие, которое охватывало бы класс полугрупп между левыми моноидами и полугруппами lwr.

Обновление :

Мне удалось найти потенциального кандидата на такую ​​структуру. Рассматривать$(S, \cdot, e)$ где $e:S\to S$ это унарная операция с тождествами $e(x)x \approx x$ и $e(x)e(y)e(x)y \approx y$.

Такие структуры являются обобщением моноидов, поскольку если $f$ левое тождество, то $e(x) \equiv f$дает нам структуру указанного выше типа. Более того, любая полугруппа, удовлетворяющая этим соотношениям, является полугруппой lwr, поскольку$xa = xb$ подразумевает $a = e(a)b$ и $b = e(b)a$ так что $a = e(a)e(b)e(a)b = b$.

Однако у меня нет примера, который не был бы левым моноидом.

Обновление 2 :

я нашел это $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ эквивалентны $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$.

В частности, мы можем исправить $x\in S$ и возьми $ e = e(x)^2$, так что $ey = y$ для всех $y\in S$. Это означает$S$ левый моноид.

Обновление 3 :

Небольшие полугруппы lwr, не являющиеся левыми моноидами :

Существует единственная полугруппа lwr порядка $3$который не является левым моноидом. Он задается матрицей \ begin {bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ end {bmatrix}

По моим подсчетам, есть $18$ полугруппы порядка $4$ которые являются lwr, но не левыми моноидами, с идентификаторами $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ в пакете GAP Smallsemi, где $t$ означает транспонированную таблицу умножения (антиизоморфизм).

Новая структура :

Давайте рассмотрим $(S, \cdot, e)$ где $e$ это бинарная операция $e:S\times S\to S$, с идентичностями $e(x, y) \approx e(y, x)$ и $e(x, y)x\approx x$.

Вы можете рассматривать бинарную операцию как выбор локальных левых идентификаторов, которые связывают два элемента $x, y$ вместе требуя $e(x, y)$ быть одновременно местной левой идентичностью $x$ и $y$.

Если $S$ левый моноид с левой единицей $f$мы можем взять $e(x, y) \equiv f$.

Любая такая структура является полугруппой lwr, поскольку $xa = xb$ для всех $x$ подразумевает $e(a, b)a = e(a, b)b$, и это означает $a = b$.

Такие конструкции обсуждаются здесь и здесь .

Обновление 4:

Кажется, существует еще один класс полугрупп, которые являются слабо редуктивными! Это полугруппы, индуцированные (малыми) категориями. Конструкцию можно найти здесь, в ответе @J.-E.Pin.

Если $(S, \cdot)$ индуцируется категорией $\mathcal{C}$, и $x\cdot f = x\cdot g$ для всех $x\in S$ и морфизмы $f, g$ из $\mathcal{C}$, затем принимая $x = 1_X$ где $X$ это область $f$, $f = 1_X\cdot g$. Особенно,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ определяется как равное $g$. Если$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ для всех $x\in S$ и морфизм $f$ из $\mathcal{C}$, то как и раньше $f = 0$. Противоречие.

Это доказывает, что все полугруппы, индуцированные (малыми) категориями, слабо редуктивны.

Answer 1

Таким образом можно описать класс всех lwr, используя одну дополнительную двоичную и одну тернарную операцию. Обозначив две операции$w(a,b)$ и $r(a,b,c)$рассмотрим многообразие, определяемое ассоциативностью $\cdot$ и идентичности $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ Обратите внимание, что если эти тождества верны, то для любого $a\neq b$ мы должны иметь $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, откуда следует полугруппа $(S,\cdot)$ lwr для любой такой алгебры $(S,\cdot,w,r)$.

Наоборот, если полугруппа $(S,\cdot)$ lwr, то для любого $a\neq b$ существует некоторое $w(a,b)$ такой, что $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$. Используйте эти значения для определения$w$, установка $w(a,a)$произвольно. Теперь мы можем определить$r(a,b,c)$ таким образом, что это равно $a$ если $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ если $c=w(a,b)\cdot b$ и принимает любое значение для всех остальных $c$. потом$(S,\cdot,w,r)$ удовлетворяет указанным выше тождествам.