Верно ли и обратное к Главной теореме Рамануджана?
Основная теорема Рамунаджана утверждает, что если комплекснозначная функция$f(x)$ имеет расширение вида
$$\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$
то преобразование Меллина из$f(x)$ дан кем-то
$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f(x)\,\operatorname {d} x=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$
Вот $\varphi(s)$ - некоторая функция (скажем, аналитическая или интегрируемая).
А что насчет обратного? Скажем, мы знаем, что преобразование Меллина$f(x)$ равно $\Gamma (s)\,\varphi (-s)$, тогда правда, что $f(x)$ имеет бесконечное расширение в форме, указанной выше?
Я не смог найти ничего по этому вопросу ни в Википедии, ни где-либо еще.
Ответы
Для частичного обращения к основной теореме заметим, что если $\mathcal M[f(x)]=\Gamma(s)\varphi(-s)$ тогда $$f(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s)\,ds.$$ Полюса $\Gamma$ просты и являются целыми неположительными числами, поэтому остаток в целом числе $-t\le0$ является $$\lim_{s\to-t}(s+t)\Gamma(s)=\lim_{s\to-t}\frac{\Gamma(s+t+1)}{\prod\limits_{i=0}^{t+1}(s+i)}=\frac{(-1)^t}{t!}.$$ Таким образом, если $\varphi$ не имеет особенностей и не имеет корней при неположительных целых числах, то теорема о вычетах дает $$f(x)=\sum_{t\ge0}\operatorname{Res}(x^{-s}\Gamma(s)\varphi(-s),-t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)(-x)^k}{k!}$$ что является исходным заявлением.
В квартальных отчетах Рамануджана 1 Берндта отмечается, что
В последнем разделе первого отчета Рамануджан выводит определенные разложения для четырех функций, предполагая, что имеет место своего рода теорема, обратная основной теореме. Более конкретно, он определяет степенной ряд для подынтегрального выражения из значения интеграла. Фактически, обращение Рамануджана к основной теореме следует из формулы обращения для преобразований Меллина. Хотя Рамануджан действовал формально, все полученные им результаты действительно верны.
(курсив мой)
Рассмотрены четыре функции:
$\left(2/(1+\sqrt{1+4x})\right)^n=p_*^{-n}$ где $p_*$ положительный корень из $p^2-p-x$, давая $\varphi(q)=n\Gamma(n+2q)/\Gamma(n+q+1)$;
$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{-n}=e^{-n\operatorname{arcsinh}x}$, давая $\varphi(q)=n2^{q-1}\Gamma((n+q)/2)/\Gamma((n-q)/2+1)$;
$\int_0^\infty a^{q-1}x^n\,da$ где $a\ge0$, $n>0$ и $x$ решает $\log x=ax$, давая $\varphi(q)=n(n+q)^{q-1}$;
$\int_0^\infty a^{r-1}x^n\,da$ где $x$ решает $aqx^p+x^q=1$ с участием $a>0$, $0<q<p$ и $0<pr<n$, давая $\varphi(r)=nq^{r-1}\Gamma((n+pr)/q)/\Gamma((n+pr)/q-r+1)$.
Очевидно, во всех этих случаях $\varphi$ не аналитична во всей левой плоскости, но я подозреваю, что сокращение гамма-членов с $\Gamma(-s)$ может быть, поэтому личность до сих пор сохраняется.
Справка
[1] Берндт, BC (1984). Ежеквартальные отчеты Рамануджана. Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (5): 449-489.