Вероятность случайной прогулки - теннисный матч

Question

Вы и ваш соперник играете в теннис - первым получите $2$выигрывает подряд выигрывает. Вероятность вашего выигрыша равна$0.6$. Вероятность того, что он выиграет, равна$0.4$. Какова вероятность того, что вы выиграете игру?

Я думаю, это можно смоделировать как цепь Маркова с 5 состояниями (2 проигрыша, 1 проигрыш, 0 чистых, 1 выигрыш, 2 выигрыша). Поэтому я думаю, что мог бы написать несколько уравнений, чтобы решить эту проблему. Может ли кто-нибудь сказать мне, имеет ли это смысл / если это неправильно?

P (вы выигрываете сразу) $= (0.6)(0.6) = 0.36$

П (он выигрывает сразу)$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

П (ты выигрываешь)$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

Ответ:

Случай 1: вы выиграли две игры подряд$ = 0.36$

Случай 2: вы выигрываете игру, а ваш противник проигрывает.$ = 0.24$

Случай 3: вы продолжаете игру, а ваш противник выигрывает.$ = 0.24$

Случай 4: вы проигрываете две игры подряд, и ваш противник выигрывает $ = 0.16$

В обоих случаях 2 и 3 игру можно рассматривать как ничью и возвращение в исходное положение. Таким образом, вероятность того, что вы не выиграете, складывается из случаев 2 и 3.$= 0.48$

Вероятность того, что вы выиграете $= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

Вероятность того, что ваш противник выиграет $=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

Это один из способов упростить игру и найти решение, если вы не знаете способ решения с цепью Маркова.