Вероятность того, что первая $2$ исходы - один, учитывая, что исход три - последний результат
Рассмотрим бесконечную последовательность независимых испытаний, в которых каждое испытание с равной вероятностью приведет к любому из результатов. $1$, $2$, или $3$. Учитывая этот результат$3$ является последним из трех возможных исходов, найдите условную вероятность того, что
- результаты первых двух испытаний $1$
моя попытка: пусть
{один $1st$} = событие, при котором результат первого испытания равен единице
{один $2nd$} = событие, при котором результат второго испытания равен единице
{третий последний} = событие, при котором результат три наступает после того, как произошли результаты один и два.
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} = \dfrac{P(\text{third last}) \cdot P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})}$ $= P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})$
сейчас, поскольку каждое испытание с равной вероятностью будет либо $1$, $2$, или $3$ и нам дано, что $1^{st}$ испытание не $3$ следовательно, $P(\text{one 1st}|\text{third last})=0.5$
так же, $P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last}) = 0.5$ поскольку все испытания независимы, каждое испытание с равной вероятностью будет либо $1$, $2$, или $3$ и результат второй попытки не может быть $3$(так как исход $3$ происходит после результатов $1$ и $2$ оба произошли)
следовательно, $P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) =0.25$, но данный ответ $\dfrac{1}{6}.$
что я сделал не так?
изменить: данный ответ (который я понимаю)
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} =\dfrac{P(\text{one 1st})\cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st})\cdot P(\text{third last}|\text{one 2nd}\cap \text{one 1st})}{P(\text{third last})} = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6}$
Ответы
Есть некоторые предположения, которые неверны.
Например, последовательность $(1,1,3)$ не является законным "третьим последним" событием, но считается законным в ваших расчетах.
Первый "один первый | третий последний" правильно рассчитывается как $1\over 2$. Однако «одна секунда | одна первая и третья последняя» не$1\over 2$ потому что $2$ должно произойти где-то после $1$ и раньше $3$ так что с учетом первого $1$ и последнее $3$, есть больше шансов, что $2$ происходит при втором испытании.