волокно только с одной точкой изоморфно спецификации поля

Question

Позволять $R$ а также $T$- коммутативные кольца с единицей. Позволять$Q$ быть главным идеалом $R$ а также $\phi:R \to T$. Предположим $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$имеет только один главный идеал. Затем я хотел бы доказать, что вертикальная карта в левой части \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & R \ end {array}
- изоморфизм. Как я могу это доказать?

Я думал, что смогу доказать это, показав, что при любом $t \otimes r$, у нас есть $t \otimes r = 1 \otimes s$ для некоторых $s \in R_Q/Q R_Q$, но это работает, только если $t$ находится в образе $\phi$...

Редактировать. Заданный вопрос не кажется правильным, как видно из комментария. Какие предположения я могу добавить, чтобы это стало правдой? Я пытаюсь понять детали доказательства в Mumford волокно из$f$ над $y$ является $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ дано $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. Спасибо

Answer 1

Лемма. Пусть $f:X\rightarrow Y$быть морфизмом схем. затем$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ как наборы, где $\kappa (p)$ поле вычетов в $p\in Y$.

Доказательство: Предположим $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ аффинны и $p\in \operatorname{Spec} B$. Задавать$S=B\backslash p$. Тогда у нас есть следующие соответствия 1-1 $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

Теперь вы используете аргумент исправления, чтобы завершить доказательство.

Итак, вы спрашиваете, когда $\frac{A_p }{pA_p}$ это поле, предполагающее $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$это синглтон. Позволять$P\in \operatorname {Spec} {A}$ - единственный простой идеал такой, что $P\cap B\backslash p =\phi $ а также $P\supset pA$. затем$\frac{A_p }{pA_p}$ поле тогда и только тогда $pA_p =PA_p$, а именно максимальный идеал $\mathcal O_{Y,p}$ порождает максимальный идеал $\mathcal O_{X,P}$ это именно то, что указано в вопросе, который вы связали.