Вопрос о дробных производных
Я практически ничего не знаю о дробном исчислении, поэтому заранее прошу прощения, если следующий вопрос окажется глупым. Я уже пробовал на math.stackexchange.
Я просто хотел спросить, существует ли понятие дробной производной, которое является линейным и удовлетворяет следующему свойству $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ где $\alpha$является скаляром. В случае стандартных производных мы имели бы$\alpha = n$.
Большое спасибо.
Ответы
По сути, нет никаких интересных решений этого уравнения, кроме операторов первого и нулевого порядка, даже если наложить только указанное ограничение для $n=2$.
Во-первых, мы можем деполяризовать гипотезу$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ заменив $f$ с участием $f+g, f-g$ для произвольных функций $f,g$ и вычитание (а затем деление на $4$) для получения более гибкого тождества типа Лейбница $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$
Теперь есть три случая, в зависимости от значения $\alpha_2$:
- $\alpha_2 \neq 1,2$. Применяя (2) с$f=g=1$ мы тогда заключаем, что $D^u(1)=0$, а затем снова применяя (2), просто $g=1$ мы получили $D^u(f)=0$. Итак, у нас есть тривиальное решение$D^u=0$ в таком случае.
- $\alpha_2=2$. потом$D^u$является выводом и по индукции имеем$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, как и в случае с обычной производной, мы просто имеем $\alpha_n=n$ для всех $n$ без дробного поведения.
- $\alpha_2=1$. Применяя (2) с$g=1$ мы получаем (после небольшой алгебры) $D^u(f) = mf$ где $m := D^u(1)$. Таким образом$D^u$ это просто оператор умножения, который подчиняется $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, таким образом $\alpha_n=1$ для всех $n$.
Таким образом, у вашего уравнения нет линейных решений, кроме обычных выводов (например, $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ для любого гладкого символа $a$) и операторы множителя $D^u(f) = mf$, т. е. операторы первого и нулевого порядка.
С другой стороны, дробные производные $D^u$ склонны подчиняться «правилу дробной цепочки» $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ для различных гладких функций $F,f$, где ошибка $E$подчиняется лучшим оценкам в различных пространствах Соболева, чем два других члена в этом уравнении. В частности, для$F(t) = t^n$, мы бы хотели иметь $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ за "хороший" срок ошибки $E$. Например, взяв$u=n=2$ с участием $D$ обычная производная, имеем $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ с участием $E$оператор " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Обратите внимание, что ошибка $E$ равномерно контролируется $C^1$ норма $f$но два других члена в (3) нет. См. Мой предыдущий ответ MathOverflow наhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 для некоторых ссылок и дальнейшего обсуждения.
Похоже, ты действительно хочешь $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, где $\alpha$ является скаляром.
Нет никаких оснований для того, чтобы это было правдой, и в целом это действительно неверно. Например, для$n=2$и дробная производная Римана - Лиувилля от$f:=\exp$ с участием $u=1/2$, $a=0$, а также $x>0$ у нас есть $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ тогда как $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ чтобы $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ совершенно не похож на любую константу.
Более того, термин $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ в выражении для $(D^u(f^n))(x)$ здесь по сравнению с термином $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ в выражении для $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ похоже, очень маловероятно, что какой-либо другой вид дробной производной будет работать так, как вы хотите.
Обобщенная формула Лейбница, применимая к классической дробной интегропроизводной, имеет вид
$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$
где $D_L$ действует на функцию слева от продукта и $D_R$на правой функции. См., Например, правила Лейбница и интегральные аналоги для дробных производных через новую формулу преобразования Фугере, Габури и Трембле.
Это обобщенное правило Лейбница применяется к дробной интегро-производной, удовлетворяющей осмысленным аксиомам, данным Пинчерле, описанным в «Роль Сальваторе Пинчерле в развитии дробного исчисления» Франческо Майнарди и Джанни Паньини - тем, которым удовлетворяет обычная производная, возведенная в целые степени, отрицательный или положительный. Повторения этой операции представлены в этом MSE-Q и могут использоваться для определения конфлюэнтности (см. Этот MO-Q ) и регулярных гипергеометрических функций.
Эти представители $D^{\omega}$лежат в основе определений гамма- и бета-функций Эйлера через интегралы, обобщения интегральных факториалов и интегральных биномиальных коэффициентов (см. мой ответ на / refs в этом MO-Q ), которые большинство исследователей часто используют в своих математических усилиях. - вопреки некоторым мнениям, высказанным по МО. См. Пример полупроизводной в этом MO-Q (который многие пользователи, по-видимому, путают с некоторым псевдодифференциальным оператором, определенным преобразованием Фурье).