Вопрос о метрическом пространстве, определенном на $\mathbb{Q}$.
Рассматривать $\mathbb{Q}$- множество всех рациональных чисел. Определенный$d(p,q)=|p-q| $. Тогда какие из следующих утверждений верны?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ закрыто.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ закрыто.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ компактный.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ компактный.
Итак, я думал об этом, где вариант 4. неверен, потому что он не ограничен. Итак, некомпактность следует из неограниченности. Итак, если мы можем показать, что здесь набор в 4. И я думаю, что номер 1. закрыт, так как его дополнение$\mathbb{Q}$ объединение некоторого открытого набора в $\mathbb{R}$.
Для другого утверждения мы можем использовать общий критерий, что «метрическое пространство компактно, если и только если оно полно и вполне ограничено». Но для этого мне нужна помощь.
Ответы
Мы можем написать 1. как $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ который является реально открытым множеством (открытые интервалы открыты), пересекающимся с $\Bbb Q$, так что этот набор открыт в $\Bbb Q$. Он также закрыт в$\Bbb Q$ потому что мы также можем записать это как $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, который закрыт по тем же причинам.
2 закрыт, так как мы можем записать его как $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ и как его элемент $2$не является его внутренним аспектом, он не открыт.
Множество под 3 точно так же, как под 2, поэтому, как мы видели, действительно замкнуто, поэтому оно может быть компактным, поскольку оно также ограничено. Но на самом деле это не так, поскольку мы можем выбрать любое иррациональное$p$ "внутри" набора (скажем $\sqrt{3}$ будет делать) и найти последовательность рациональных $q_n$ в наборе, сходящемся к $p$ в реалах (это всегда можно сделать). Но тогда последовательность$(q_n)_n$ является Коши (в конце концов, он сходится в действительных числах), но не сходится в $\Bbb Q$(поскольку единственная точка, к которой он мог бы сходиться, не входит в набор). Так что набор не компактный. Более глубокая причина того, почему это не компактно (о которой вы, вероятно, еще не рассказали), заключается в том, что компактное счетное множество в метрическом пространстве должно иметь изолированную точку, а это множество - нет. Но неполнота (или связанный с этим факт, что у нас есть последовательность без сходящейся подпоследовательности) может использоваться для опровержения компактности на более элементарном уровне.
Для 4 во всех метрических пространствах мы знаем, что "$A$ компактный $\implies$ $A$замкнутые и ограниченные; Гейне-Бореля - обратная импликация, которая имеет место в подмножествах$\Bbb R^n$в евклидовой метрике. «Сила» этого - быстро доказать компактность. Но всегда верная импликация может использоваться, чтобы легко опровергнуть компактность, и 4 является примером: не ограничено, поэтому некомпактность является допустимым выводом в любом метрическом пространстве.
Множество $A$ в метрическом пространстве компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность в $A$ имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит $A$. Последовательность$\{1,2,3,..\}$ - последовательность в данном наборе, у которой нет сходящейся подпоследовательности, поэтому множество в 4) не компактно.
В качестве альтернативы вы можете использовать тот факт, что $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ - открытое покрытие множества без конечного подпокрытия.