Вопрос о смежных гипергеометрических функциях

Question

Я наткнулся на гипергеометрическую функцию $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ где $k \geq 1$ является целым числом, и я считаю, что это равно $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ где $p$ является многочленом степени $k-1$(Вольфрамальфа подтверждает первые несколько значений). Я понимаю, что это должно вытекать из некоторой взаимосвязи, включающей смежные гипергеометрические функции, но я не знаю, как это сделать, и у меня нет хорошей ссылки (библиотека в моем универе закрыта для COVID-19). На самом деле меня не волнуют коэффициенты в многочлене, потому что я просто пытаюсь показать, что интеграл конечен. Может ли кто-нибудь направить меня на правильный путь?

Большое спасибо, Грег

Answer 1

Из преобразования Эйлера следует

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$

В вашем случае у нас есть

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$

Теперь гипергеометрическая функция в RHS может быть разложена в конечный ряд $k$элементы. Это создает полином степени$k-1$отмечено в ОП. По обычному определению степенного ряда он сводится к

$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$и так далее. Обобщая, полином

$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$

где $(z)_n$- это символ Поххаммера для возрастающего факториала. Мы делаем вывод, что

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$