Вопрос относительно цепного правила для частных производных

Question

Позволять $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ - дифференцируемая функция и рассмотрим функцию $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Вычислить$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ и $\frac{\partial F}{\partial z}$ с точки зрения $f$частные производные первого порядка.
Я начал с признания того, что$F=f\circ g$, где $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Обозначим через$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ и $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$компоненты.
По цепному правилу я знаю, что$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ и те же отношения справедливы для $\partial y$ и $\partial z$, но я не понимаю, как / если бы я мог еще больше упростить $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ и $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Насколько я понимаю, это частные производные от$f$ относительно функций $u$ и $v$. Как их вычислить?

Answer 1

Чтобы было понятнее, обозначим $u$ и $v$ переменные для $f$, где $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$

Цепное правило утверждает, что \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} и аналогично для других частных производных.

Answer 2

Если вы используете цепное правило для производной от $multivariate$ функции, вы можете прочитать $partial$производные. Точнее, следуя вашей задумке, у нас есть

$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$

В матричной форме

$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$

Теперь мультиплексируйте матрицы, чтобы считать производные.