Вопрос в Milnor & Stacheff - Характеристические классы, построение классов Черна

Question

Следующий абзац взят из книги:

Дадим индуктивное определение характеристических классов для комплекса $n$-самолет в комплекте $\omega=(\pi: E\to M)$. Если сначала необходимо построить канонический$(n-1)$-самолет в комплекте $\omega_0$ по удаленному общему пространству $E_0$. ($E_0$ обозначает множество всех ненулевых векторов в $E$.) Точка в $E_0$ определяется волокном $F$ из $\omega$ вместе с ненулевым вектором $v$в этом волокне. Сначала предположим, что эрмитова метрика задана на$\omega$. Тогда волокно$\omega_0$ по определению является ортогональным дополнением $v$ в векторном пространстве $F$. Это сложное векторное пространство размерности$n-1$, и эти векторные пространства, очевидно, можно рассматривать как слои нового векторного расслоения $\omega_0$ над $E_0$.

Вопрос: Я понял, как общая площадь $\omega_0$определено. Но как определяется топология всего пространства? Об этом нет ни слова.

Answer 1

Рассмотрим следующие сопоставления:

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

который индуцирует обратный пучок $\bar \pi : \pi^*E \to E$, где для каждого $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (то есть волокно - это просто волокно $F_x$, где $x = \pi(v)$). $\pi^*E$задается топология обратного пучка. поскольку$E_0$ это подмножество $E$, ограничение дает связку

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

и связка $\omega_0$построенный в книге, является частью (1). Плюс имеет топологию подпространства, заданную формулой (1).