Все невырожденные билинейные симметрические формы на комплексном векторном пространстве изоморфны

Question

Все невырожденные билинейные симметрические формы на комплексном векторном пространстве изоморфны. Означает ли это, что для невырожденных билинейных симметричных форм на комплексном векторном пространстве вы можете выбрать базис для векторного пространства так, чтобы матричное представление билинейной формы было единичной матрицей? Может ли кто-нибудь помочь мне объяснить, почему это так?

Я думаю, что матрица с записями в $\mathbb{C}$будет иметь характеристическое уравнение, которое разбивается на линейные множители (с множественностью) и поэтому будет диагонализуемым, но все еще не может полностью соединить эти части. Понимание оценено!

Answer 1

Ответ положительный.

Во-первых, доказательство изоморфности билинейных форм. Отметим, что достаточно доказать, что это верно$\Bbb C^n$.

Во-первых, я утверждаю, что любую обратимую комплексную симметричную матрицу можно записать в виде $A = M^TM$ для некоторой сложной матрицы $M$. Это можно увидеть, например, как следствие факторизации Такаги .

Теперь позвольте $Q$ обозначим симметричную билинейную форму над $\Bbb C^n$, и разреши $A$ обозначим его матрицу в том смысле, что $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Позволять$Q_0$ обозначим каноническую билинейную форму, определяемую формулой $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Мы пишем$A = M^TM$ для некоторой обратимой комплексной матрицы $M$.

Определить $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ от $\phi(x) = Mx$. Легко убедиться, что$\phi$ является изоморфизмом билинейных пространств-произведений, так что эти два пространства действительно изоморфны.

Итак, установлено: мы видим, что смена основы $y = Mx$ таково, что $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.