Встраивание $\sqrt{|i-j|}$ расстояние в $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Question

Рассмотрим метрическое пространство $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ такой, что:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Мочь $(X,d)$ быть изометрически вложенным в $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Если это так, можем ли мы найти естественную изометрию?$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?

---

Чтобы добавить некоторого контекста, я рассматриваю случайное блуждание:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

где $X_i$являются независимыми стандартными гауссианами. $S=(S_1,\ldots,S_n)$ нормально распределен (потому что таковы его проекции по каждому направлению), поэтому должны существовать $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ такой, что:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

где $g$ это $n$-мерный стандартный гауссовский. Но оказывается:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

откуда следует наличие вложения. Мне было интересно, существует ли явное доказательство этого (безусловно, должно быть!).

Answer 1

Вот такое вложение: определить $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$