Вычисление группового кольца $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ для поля $k$ характерных $0$

Aug 15 2020

Рассмотрим поле $k$ характерных $0$ и положительное целое число $n.$В доказательстве Брунса и Губеладзе теоремы 4.19 о многогранниках, колец и K-теории утверждается, что имеется изоморфизм$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ где $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ групповое кольцо, соответствующее циклической группе целых чисел по модулю $n;$однако мне трудно себя в этом убедить. Я считаю, что$k$гомоморфизм -алгебр $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ вызванный присвоением $x^m \mapsto \overline m$ сюръективно, где мы обозначаем $\overline m = m \text{ (mod } n),$ поэтому я хотел бы показать это $\ker \varphi = (x^n - 1),$ но я не смог этого сделать.

Как только это установлено, я понимаю, что (поскольку $k$ имеет характерный $0$) у нас есть это $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ где $\Phi_d(x)$ это $d$-й круговой полином. Следовательно, многочлен$x^n - 1$разбивается на произведение попарно взаимно простых неприводимых многочленов; поэтому авторы утверждают, что$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$- тензорное произведение доменов. Но я не понимаю как$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ если это действительно то, что утверждают авторы.

Буду очень признателен за любую информацию, комментарии или предложения. Спасибо.

Ответы

2 JCAA Aug 15 2020 at 21:34

Насчет первого вопроса. Ядро содержит$x^n-1$. Кольцо полиномов - это PID, поэтому ядро ​​порождается некоторым полиномом$f(x)$. Тогда остаток$r(x)$ из $f$ при делении на $x^n-1$должен принадлежать ядру. Это$r(x)$ имеет степень $<n$. Тогда простая линейная алгебра показывает, что$r$ является $0$. Следовательно, ядро ​​порождается$x^n-1$.