Вычисление с использованием сложных дифференциальных форм

Question

Я читаю эту лекцию по сложной геометрии и застрял на одном вычислении (казалось бы, простом) с участием сложных дифференциальных форм. Предположим$X$ сложная поверхность и $\omega$ является голоморфной (1,0) -формой, т. е. $\omega$ убит оператором $\overline{\partial}$. Позволять$\overline{\omega}$- соответствующая (0,1) сопряженная форма. Автор утверждает, что

\ begin {уравнение *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {уравнение *}

Теперь, когда $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, правая сторона не что иное, как $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Но я не вижу, как левую часть можно записать в том же выражении (используя обычное правило для внешних производных). Любое понимание будет оценено.

Answer 1

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ представляет собой три формы, в то время как RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$это четыре формы. Они не то же самое.

Посмотрев на записку, они написали

Теперь по теореме Стокса $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (потому как $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

Я считаю, что это просто опечатка, и они, вероятно, имеют в виду $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$