Вывод функционального уравнения для $\zeta(s)$ от суммирования степеней нулей, необходимых для подсчета целых чисел

Jan 23 2021

При подсчете количества целых чисел$n(x)$ ниже определенного нецелого числа $x$, можно использовать следующие серии:

$$n(x) = x-\frac12 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{x \mu_n}} {\mu_n}+\frac{e^{x \overline{\mu_n}}} {\overline{\mu_n}}\right)$$

где $\mu_n = 2\pi n i$ которые являются нулями функции $\xi_i(s) = \frac{2}{s}\sinh\left(\frac{s}{2}\right)$ с простым произведением Адамара:

$$\displaystyle \xi_i(s) = \prod_{n=1}^\infty \left(1- \frac{s}{2 \pi ni} \right) \left(1- \frac{s}{{-2 \pi ni}} \right)$$

Обратите внимание, что $\xi_i(0)=1$ как $\xi(0)=1$в произведении Адамара нетривиальных нулей Римана$\xi$-функция при игнорировании его возможно лишнего фактора$\frac12$.

Суммирование степеней этих парных нулей следующим образом дает ($B_r$= Число Бернулли ):

$$\hat{\sigma}_r = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(2\pi ni)^r}+ \frac{1}{(-2\pi ni)^r}\right) = -\frac{B_{r}}{r\,\Gamma(r)} \qquad r \in \mathbb{N}, r \gt 1\tag{1}$$

Область применения серии может быть расширена следующим образом:

$$\hat{\sigma}_s = \frac{1}{(2\pi i)^s}\,\left(1+e^{\pi s i}\right)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\qquad s \in \mathbb{C}, \Re(s) \gt 1 \tag{2}$$

$$\hat{\sigma}_s = 2^{1-s}\,\pi^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\qquad s \in \mathbb{C}, \Re(s) \gt 1 \tag{3}$$

Передача $\Gamma(r)$ из правой части (1) и $r \mapsto s$ дает:

$$2^{1-s}\,\pi^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\,\Gamma(s)\,\zeta(s) = \,\,? \tag{4}$$

что является 5/6-й частью знаменитого функционального уравнения. Мы знаем из различных доказательств (например, в книге Титчмарша о Зета-функциях перечислено 7 различных доказательств), что?$= \zeta(1-s)$ и что это обеспечивает полное аналитическое продолжение $\zeta(s)$ в направлении $s \in \mathbb{C}\,\, /\,\, {1}$.

Вопрос: (надеюсь, не слишком банальный ...)

Я знаю, что произведение Эйлера отражает мультипликативную структуру целых чисел, тогда как функциональное уравнение отражает аддитивную структуру, но есть ли интуитивное объяснение того, почему функциональное уравнение должно возникать из суммирования степеней нулей, необходимых для осциллирующего члена, чтобы подсчитать целые числа?

PS:

Я прочитал это интересное обсуждение , но не смог получить из него ответ.

Ответы

4 TomCopeland Jan 23 2021 at 08:37

Посредником, по-видимому, является числовая последовательность Бернулли, которая изначально возникла при суммировании степеней целых чисел и, в свою очередь, в конечном итоге породила через акушерку преобразование Меллина дзета-функции Римана и Гурвица. MO-Q, на который вы ссылаетесь в мотивирующих выводах функционального уравнения для дзеты Римана, имеет аналитическое продолжение коэффициентов egf для функции Бернулли (AC фактически дает дзета-функцию Римана) с числами, выраженными двумя разными способами. , из которого выпадает СЭ дзеты Римана. Ваш Eqn. 1 можно было бы использовать для замены одного из повторений Бернулли - того, в котором$\cos(\frac{\pi n}{2})$- с тем же конечным результатом, ИП. (Другой взгляд на AC чисел Бернулли к дзета-функциям Гурвица и Римана представлен в этом MO-Q .)

Если вы возьмете производную вашего исходного уравнения, вы получите гребенчатую дельта-функцию / оператор Дирака слева и сумму косинусов справа, что дает основную тождество суммирования Пуассона. Преобразование Меллина гребенки Дирака даст вам дзета-функцию Римана. Подробнее об этом см. « Принцип соответствия » Хьюза и Нинхэма.

Редактировать 23–4 / 21:

Позвольте мне уточнить последний абзац.

Как вы изображаете в ассоциированном MSE-Q, функция дважды бесконечной лестницы получается добавлением $x$к ряду Фурье пилообразной волны . Для$x > 0$, вы можете записать кусочно-непрерывную функцию полубесконечной лестницы как

$$H(x) \; n(x) = \sum_{n \geq 1} H(x-n) = H(x) [ \; x - \frac{1}{2} + 2 \sum_{n \geq 1} \frac{\sin(2 \pi n x)}{2 \pi n} \; ],$$

где $H(x)$ - это ступенчатая функция Хевисайда (Хевисайд все это знал).

Взяв производную от обеих частей, получаем, что для $x > 0 $, половина ядра формулы распределения суммирования Пуассона

$$ \sum_{n \geq 1} \delta(x-n) = H(x) [\;1 + 2 \sum_{n \ge 1} \cos(2 \pi n x) \;],$$

и с тех пор

$$ \int_{0^{+}}^{\infty} x^{s-1} \delta(x-n) \; dx = n^{s-1}$$

а также

$$ 2 \;\int_{0^{+}}^{\infty} x^{s-1} \cos(2\pi n x) dx = 2 \; (2\pi n)^{-s} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \cos(x) \; dx$$

$$= 2\; (2\pi n)^{-s} \; (s-1)!\; \cos(\frac{\pi}{2}s)$$

для $0 < Re(s) < 1$, взяв правую часть в качестве аналитического продолжения для всех $s$, мы имеем рудиментарную форму кристаллизации дзета-ФЭ.

Членное преобразование Меллина в гребенку Дирака дает ряд дзета-функции Римана rep

$$ \zeta(1-s) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^{1-s}}$$

для $Re(s) < 0$. Тем не менее$n =0$член, т. е. постоянный член, в косинусном ряду представляет проблему в посланном преобразовании Меллина ряда. Отбросив это - регуляризация через схему конечных частей Адамара, оправданную обратным преобразованием Меллина, повторяют так же, как для AC интеграла для гамма-функции Эйлера - и приравнивание аналитически продолженных преобразований Меллина двух представлений дает Римана уравнение дзета-функциональной симметрии

$$\zeta(1-s) = 2 \; (2\pi)^{-s} \; (s-1)! \; \cos(\frac{\pi}{2}s) \; \zeta(s).$$


Обратите внимание, как интерполяция Меллина (MI) коэффициентов egf (также известная как любимая основная формула Рамануджана) лежит в основе этих преобразований:

$$ \cos(2\pi n x) = \sum_{k \ge 0} \cos(\pi \frac{k}{2}) (2\pi n)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k \ge 0} c_k \frac{x^k}{k!} = e^{c. x} ,$$

поэтому к коэффициентам MI примените нормализованное преобразование Меллина к egf с отрицательным аргументом (в этом случае отрицание возвращает ту же функцию)

$$\int_{0}^{\infty} e^{-c.x} \; \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; dx = (c.)^{-s} = c_{-s} $$

$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \cos(-2\pi n x) \; dx = \cos(\pi \frac{k}{2}) (2\pi n)^k \; |_{k \to -s}. $$

Для полноты картины, играя быстро и свободно с дельта-функцией Дирака / операционными повторениями, мы снова можем применить MI через

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \delta(x-n) \; dx =\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \frac{1}{n} \delta(1-\frac{x}{n}) \; dx $$

$$ =\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \frac{1}{n} \frac{(1-\frac{x}{n})^{-1}}{(-1)!} \; dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \sum_{k \geq 0}(-1)^k \frac{1}{n^{k+1}} \; \frac{1}{(-k-1)!} \; \frac{x^k}{k!} \; dx$$

$$ =\frac{1}{n^{k+1}} \; \frac{1}{(-k-1)!} \; |_{k \to -s} = \frac{1}{(s-1)!} \; n^{s-1} .$$

Это согласуется с предельным случаем $H(1-x) \; \frac{(1-x)^{\omega}}{\omega!}$ в виде $\omega$ как правило $-1$ для аналитически продолженного интеграла rep бета-функции Эйлера с $H(x)$ступенчатая функция Хевисайда и, следовательно, дробное исчисление. Будучи осторожно полуконсервативным, можно было бы взглянуть на обратное преобразование Меллина.$\delta(x-n)$.