$3^{123} \mod 100$

คุณถูกต้องแน่นอน อย่างไรก็ตามมีการปรับปรุงเล็กน้อยอย่างหนึ่ง เมื่อใช้ฟังก์ชั่น Carmichaelคุณสามารถยืนยันได้ว่ามีขนาดเล็กกว่า$3$กล่าวคือ $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. ฟังก์ชันคาร์ไมเคิลหารครึ่งหนึ่งของฟังก์ชันโทเทนต์ออยเลอร์เมื่ออาร์กิวเมนต์เท่ากันและผลรวมของออยเลอร์เป็นผลคูณของ$4$ซึ่งเป็นจริงสำหรับ $\lambda(100)$; ดังนั้น$3^{20}$ สามารถแทนที่ $3^{40}$ ในการโต้แย้ง

ในระดับประถมศึกษาคุณสามารถแสดงผล $3^4=80+1$ และยกทั้งสองข้างขึ้นเป็นกำลังห้า $3^{20}\equiv1\bmod 100$ เป็นทฤษฎีบททวินามสำหรับ $(80+1)^5$ ให้ทวีคูณของ $100$ บวก $1$.

ถูกต้องทางเลือกอื่น:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

แก้ไข! ฉันเชื่อว่าตรรกะของคุณถูกต้อง เท่าที่ฉันเห็นนี่เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ทั่วไปที่ถูกต้องของออยเลอร์$\phi(100) = 40$ และด้วยเหตุนี้ $3^{40} \cong 1 \mod 100$

หากคุณต้องการความน่าเชื่อเพิ่มเติมเพียงแค่ป้อนข้อมูล $3^{123}$ เป็น https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

อีกครั้งไม่จำเป็นจริงๆ แต่ถ้าคุณต้องการการพิสูจน์ที่เป็นรูปธรรมก็มี

OP เริ่มต้นด้วยการมองหารูปแบบ แต่ระบุว่า

... แม้ว่าการตรวจสอบที่เจ็บปวดมากก็ไม่ได้ให้รูปแบบที่เป็นประโยชน์อย่างชัดเจน

คุณสามารถใช้ทฤษฎีแสงเพื่อทำนายรูปแบบและโครงสร้างของรูปแบบได้

สังเกตว่าถ้า $a \in \{0,2,4,6,8\}$ และ $b \in \{1,3,7,9\}$ และ

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

แล้วในความเป็นจริง $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ และ $b' \in \{1,3,7,9\}$.

นี่คือรูปแบบหลัก (เชิงทฤษฎี) ของเราและ

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าตัวเลขหน่วยจะเคลื่อนที่

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

ภายในแต่ละรอบทั้งสี่นี้

พิจารณาว่า $3$เป็นหน่วยหนึ่งเราสามารถโต้แย้งได้ว่าหนึ่งในนั้น$4$- รอบจะสิ้นสุดในวันที่

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

และจะไม่มีการทำซ้ำจนกว่าจะมีการระบุตัวตน

เนื่องจากตัวเลขหลักสิบสามารถวนรอบชุดได้เท่านั้น$\{0,2,4,6,8\}$มีมากที่สุดห้ารายการ $4$- รถมอเตอร์ไซค์ที่ต้องคำนวณ

การคำนวณ $2^{nd}$ $4$- รอบ:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

การคำนวณ $3^{rd}$ $4$- รอบ:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

การคำนวณ $4^{th}$ $4$- รอบ:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

ณ จุดนี้เราไม่จำเป็นต้องคำนวณ $5^{th}$ $4$- รีไซเคิลเพราะเรารู้ว่าต้องเป็นคันสุดท้าย

ตอนนี้เราสามารถใช้ความจริงที่ว่า

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

และหารายละเอียดที่เหลือสำหรับคำถามของ OP