Annihilator of Simple Module

Question

ปล่อย $C$ สร้างขึ้นอย่างประณีต $R$- พีชคณิตที่ไหน $R$คือวงแหวนสับเปลี่ยนเดียว ปล่อย$S$ เรียบง่าย $C$-โมดูล. แสดงว่าตัวทำลายล้างของ$S$ ใน $R$ เป็นอุดมคติสูงสุด

สิ่งที่ฉันได้ลองคือ: เมื่อ $C=R$ ดังนั้นจึงเป็นผลโดยตรงจากความเรียบง่ายของ $S$ เป็น $R$-โมดูล. นอกจากนี้ตั้งแต่$S$ เป็นเรื่องง่ายแล้ว $S$ เป็นวงจร (เช่น $S=Cy$ สำหรับ nonzero $y\in S$). พิจารณาแผนที่$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ แล้ว $\ker(f)$ เป็นผู้ทำลายล้างของ $S$ ใน $C$ และ $\ker(f) \cap R$ เป็นผู้ทำลายล้างของ $S$ ใน $R$. ฉันได้แสดงให้เห็นแล้วว่ามันเป็นอุดมคติของ$R$แต่ฉันไม่มีความคิดที่จะแสดงความสูงสุดต่อไป มันเป็นทิศทางที่แท้จริงหรือมีสิ่งอื่นใดที่ฉันควรพิจารณาเพื่อแสดงความสูงสุด?

Answer 1

ฉันมีความคิด: ถ้าเรา จำกัด แผนที่ $f: C \to S$ บน $R$. จากนั้นเรามีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง$f(R)=Ry$ และผลหาร $R/(\ker(f) \cap R)$, ที่ไหน $\ker(f) \cap R$ เป็นผู้ทำลายล้างของ $S$ ใน $R$.

เพื่อแสดง $R/(\ker(f) \cap R)$ สูงสุดก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า $Ry$ ง่ายเหมือนไฟล์ $R$-โมดูล. ปล่อย$ry \in Ry$เป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วชัดเจน$Ry$ ประกอบด้วย $\langle ry \rangle$ เช่น $R$- โมดูล ในทางกลับกันตั้งแต่$ry \in Ry \subset S$ ไม่ใช่ศูนย์ $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. ดังนั้น$Ry = \langle ry \rangle$ สำหรับที่ไม่ใช่ศูนย์ $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ เป็นเรื่องง่ายและ $R/(\ker(f) \cap R)$ สูงสุด

โปรดแจ้งให้เราทราบหากคำตอบของฉันมีความคลุมเครือ