Associated Legendre Function ของ Second Kind ให้ Delta Function หรือไม่

Question

Associated Legendre Function of Second Kind เป็นเอกพจน์ที่ $x=\pm 1$. ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่ามันเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันทุกที่หรือมีฟังก์ชันเดลต้าซ่อนอยู่ทางด้านขวามือของสมการ ตัวอย่างเช่นพิจารณาสมการ\ start {สมการ} \ left ((1-x ^ 2) f '(x) \ right)' + (2- \ frac {4} {1-x ^ 2}) f (x ) = 0 \ end {สมการ}ซึ่งมีคำตอบ$f(x)=\frac{1}{1-x^2}$ เอกพจน์ที่ $x=\pm1$. เหตุผลที่ฉันถามนี่เป็นตัวอย่างของศักย์ไฟฟ้าที่เกิดจากอนุภาคจุดและเรามีสมการ$$\nabla^2\frac{1}{r}=\delta^3(r)$$ อย่างที่เห็นคือฟังก์ชัน $h=1/r$ พอใจ $\nabla^2h=0$ ทุกที่ยกเว้น $r=0$. จริงๆแล้วเรามีฟังก์ชันเดลต้า$\delta(r)$เป็นแหล่งที่มาหรือระยะที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงอนุพันธ์ ดังนั้นฉันต้องการทราบว่ามีสิ่งที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับฟังก์ชัน Legendre ที่เกี่ยวข้องหรือไม่

Answer 1

คุณถูกต้องและสิ่งนี้ใช้ได้กับปัญหาประเภท Sturm-Liouville ทั้งหมดในช่วงเวลา จำกัด โดยมีเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet กล่าวคือตามที่คุณสังเกตการกำหนดแบบคลาสสิกหมายถึงความพึงพอใจของสมการเชิงอนุพันธ์ในการตกแต่งภายในของช่วงเวลาเท่านั้น ... และเนื่องจากการแก้ปัญหา / ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะขยายโดย$0$นอกช่วงเวลาไม่ราบรื่นที่จุดสิ้นสุดสิ่งที่ "ไม่ใช่คลาสสิก" จะต้องเกิดขึ้นที่จุดสิ้นสุด ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของสถานการณ์ด้วยเงื่อนไข Dirichlet ทวีคูณของ Dirac$\delta$s ที่จุดสิ้นสุดคือค่าของอนุพันธ์ด้านเดียวที่จุดสิ้นสุดเหล่านั้น