C * พีชคณิต isomorphism

Question

ฉันมีสองตัว $C^*$ algebras $A$ และ $B$. ปล่อย$X\subset A$ และ $Y\subset B$ เป็นช่วงนั้น $X$ และช่วง $Y$ มีความหนาแน่น * subalgebras ของ $A$ และ $B$ตามลำดับ ฉันมีแผนที่$\Psi: Span ~X \to Span ~Y$ซึ่งเป็น * -homomorphism ฉันมีแผนที่ด้วย$\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ ดังนั้น $\Phi\circ \Psi=id$. ฉันสามารถสรุปได้ว่า$\Psi$ ขยายไปสู่ ​​isomorphism ระหว่าง $A$ และ $B$เหรอ?

Answer 1

ไม่เพราะ $\Psi$อาจล้มเหลวในการหดตัว ปล่อย$A=B=C[0,2]$และ $X=\mathbb C[x]$, $Y=\mathbb C[x^3]$. ทั้งสองมีความหนาแน่นสูงโดย Stone-Weierstrass ปล่อย$\Psi:X\to Y$ มอบให้โดย $(\Psi f)(x)=f(x^3)$. แล้ว$\Psi$ เป็นแบบกลับหัว $*$- ไอโซมอร์ฟิซึม. และด้วย$f(x)=x^n$, $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ ดังนั้น $\Psi$ ไม่ถูกผูกมัด