ชุด Borel กับชุด Baire

Question

(1) สมมติว่าฉันมีพื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัด $X$ด้วยฐานที่นับได้ ทำไมพีชคณิต Borel$\mathcal{B}(X)$ (ที่ $\sigma$- ฟิลด์ที่สร้างโดยเซตเปิด) และพีชคณิต Baire $\mathcal{B}a(X)$ (ที่ $\sigma$- สนามที่สร้างขึ้นโดยกะทัดรัด $G_\delta$ชุด) เท่ากัน? ฉันจะหาข้อพิสูจน์เรื่องนี้ได้ที่ไหน?

(2) สมมติว่าตอนนี้ $X$มีฐานนับไม่ได้ ในกรณีนั้น,$\mathcal{B}(X)$ และ $\mathcal{B}a(X)$ไม่เหมือนกันอีกต่อไปและฉันรู้ว่าการพิจารณาชุด Baire จะหลีกเลี่ยงโรคบางอย่างของชุด Borel พยาธิสภาพเหล่านั้นคืออะไร? นอกจากนี้ตัวอย่างชุด Borel ที่ไม่ใช่ Baire จะเป็นอย่างไร

Answer 1

หากต้องการดูในกรณีแรกที่ Baire กำหนดและ Borel ตั้งค่าตรงกันก็พอที่จะสังเกตได้ว่าชุดสร้างสำหรับชุด Baire (compact $G_\delta$) มักจะเป็น Borel (มีความหมายว่ากะทัดรัดปิดในช่องว่างของ Hausdorff) $\subseteq$Borel ได้อย่างง่ายดาย และถ้า$O$ เปิดอยู่เราสามารถเขียนมันเป็นสหภาพขนาดกะทัดรัดที่นับได้ $G_\delta$ ชุดเปิดทั้งหมดจึงอยู่ใน Baire $\sigma$- ฟิลด์ดังนั้นชุด Borel ทั้งหมดก็เช่นกัน (ขนาดกะทัดรัด Hausdorff ที่นับได้ที่สองแสดงถึงความปกติอย่างสมบูรณ์เป็นต้น)

หากต้องการดูสิ่งที่อาจผิดพลาดโดยทั่วไปให้ตรวจสอบ $X=\omega_1 + 1$ซึ่งมีขนาดกะทัดรัด Hausdorff แต่ไม่นับวินาทีได้ ในนั้น,$\{\omega_1\}$ ถูกปิด (ดังนั้น Borel) แต่ไม่ใช่ Baire (Halmos พิสูจน์ในทฤษฎีการวัดของเขาว่าชุดกะทัดรัดคือ Baire ถ้าเป็น $G_\delta$และซิงเกิลตันนี้ไม่ใช่) เปิดมาตรการDieudonné$X$เป็นมาตรการ Borel ที่ไม่ปกติ แต่เป็นปกติเมื่อเราทำงานกับชุด Baire ดูหนังสือของ Halmos หรือผลงานมากมายของ Fremlin ในทฤษฎีการวัดโทโพโลยี การใช้ชุด Baire ทำให้เรามีชุดมากเกินพอที่จะทำสิ่งต่าง ๆ รวมและให้มาตรการที่ดีกว่าในแง่ของคุณสมบัติความสม่ำเสมอ