ช่วยด้วย Taylor Polynomial Estimation Solution

Question

ประมาณการ $e^{0.1}$ ถึงทศนิยม 6 ตำแหน่งโดยใช้พหุนามเทย์เลอร์ประมาณ 0 ใช้ขอบเขตข้อผิดพลาดเพื่อพิสูจน์ว่าค่าประมาณของคุณถูกต้องอย่างน้อย 6 ตำแหน่งทศนิยม

วิธีแก้ปัญหาของฉันถูกต้องหรือไม่?

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของแต่ละเทอมมีค่าเท่ากับ $e^x,$ เป็นอนุพันธ์ของ $e^x$ จะเท่ากับ $e^x.$ ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้น $f^{(n)} (0) = 1$ เพื่อทุกสิ่ง $n.$ สิ่งนี้ทำให้พหุนามเทย์เลอร์ของเราเท่ากับ $$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$$ เนื่องจากเรากำลังประเมิน $e^{0.1}$ ถึงทศนิยม 6 ตำแหน่งเราใช้พหุนามควอร์ติกเพื่อรับ $$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} = \boxed{1.105171}.$$ เรารู้ว่าค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดในการประมาณค่า $e^{0.1}$ โดยพหุนามเทย์เลอร์ระดับ 4 เกี่ยวกับ $a=0$ มากที่สุด $$\left| \frac{M}{5!}(0.1)^{5} \right|,$$ ที่ไหน $M$ คือค่าสูงสุดของ $|f^{5}(x)|$ สำหรับ $x$ บน $[0,0.1].$ สิ่งนี้ทำให้เรา $M = e^{0.1},$ หรือ $$\left| \frac{e^{0.1}}{5!}(0.1)^{5} \right| \approx 0.00000009209 < E = 0.000001.$$ ดังนั้นค่าประมาณของเราจึงแม่นยำถึงทศนิยมอย่างน้อย 6 ตำแหน่ง

Answer 1

คุณควรแก้ไขข้อผิดพลาดนี้ให้เสร็จสิ้นเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้ค่าที่คำนวณล่วงหน้าเป็น $e^{.1}$.

เรามี$$1.105171<e^{.1}<1.105171+\frac{10^{-5}}{120}e^{.1}$$ อสมการที่สองให้ $$e^{.1}<\frac{1.105171}{1-\frac{10^{-5}}{120}}\approx1.105171092097591$$ ดังนั้น $$1.105171<e^{.1}<1.1051711$$