Computing Ext groups ใน functor เสถียร $\infty$-ประเภท
ปล่อย $I$ เป็นหมวดหมู่ขนาดเล็กและ $\mathcal{D}=D^b_\infty(\mathbb{Z})$ ขอบเขตที่ได้มา $\infty$- หมวดหมู่ของกลุ่ม abelian พิจารณาไฟล์$\infty$-ประเภท $\mathcal{C}:=\mathrm{Fun}(I,\mathcal{D})$. กำหนดโครงสร้าง t ที่มีขอบเขตบน$\mathcal{C}$ โดยการยกขึ้น $\mathcal{D}$, นั่นคือ $\mathcal{C}^{\leq 0}=\mathrm{Fun}(I,\mathcal{D}^{\leq 0})$. สิ่งนี้ถูกกำหนดไว้อย่างดีเนื่องจากการแม็ปช่องว่างใน$\mathcal{D}$ คำนวณเป็นจุดสิ้นสุด: if $F\in \mathcal{D}^{\leq 0}$ และ $G\in \mathcal{D}^{\geq 1}$ แล้วเราก็มี $\mathrm{Map}(F(i),G(j))=0$ สำหรับทุกอย่าง $i,j\in I$ ดังนั้น bifunctor $\mathrm{Map}(F(-),G(=))$เป็นเรื่องเล็กน้อยและจุดจบก็ต้องเป็นเช่นกัน หัวใจของโครงสร้าง t นี้เทียบเท่ากับเส้นประสาทของกลุ่ม functors ประเภท abelian$I\to \mathbb{Z}\mathrm{-Mod}$. ฉันสนใจในการใช้คอมพิวเตอร์$$ \mathrm{Ext}^i_{\mathcal{D}}(F,G):=\pi_0 \mathrm{Map}_{\mathcal{D}}(F,G[i]) $$ สำหรับ functors ธรรมดา $F,G:I\to \mathbb{Z}\mathrm{-Mod}$. สิ่งนี้ดูเหมือนจะคล้ายกับสถานการณ์ของการคำนวณกลุ่ม Ext ระหว่างกลุ่ม abelian ที่เห็นว่าเป็นวัตถุในประเภทอินฟินิตี้ที่เสถียรของสเปกตรัม (ซึ่งดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่ค่อนข้างมาตรฐานโปรดทราบว่าฉันรู้จักโทโพโลยีเชิงพีชคณิตน้อยมาก) ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่า มันได้รับการปฏิบัติที่ใดที่หนึ่งแล้วหรือหากวิธีการบางอย่างจะแปลได้
เราสามารถสงสัยว่า $\mathcal{C}$เป็นหมวดหมู่ที่ได้รับจากหัวใจ แต่การแสดงให้เห็นว่าการคำนวณข้างต้นนั้นฉันเดาได้ตามหลักการรับรู้ของ Lurie (พีชคณิตที่สูงขึ้น 1.3.3.7)
หากสิ่งนี้สามารถช่วยได้ในสถานการณ์ที่ฉันสนใจโดยเฉพาะ $I$ คือหมวดหมู่ของ $\mathbb{Z}$- มัดที่สร้างได้บนเส้นโค้งที่ราบรื่น $X$ เหนือฟิลด์ที่ จำกัด และฉันกำลังมองหาตัวอย่างที่ $F=\mathrm{Ext}_X^1(-,\mathbb{G}_m)^\dagger$ และ $G=\mathrm{Ext}_X^2(-,\mathbb{G}_m)^D/H^1_{ét}(X,-)$ ที่ไหน $(-)^\dagger=\mathrm{Hom}(-,\mathbb{Q})$ และ $(-)^D=\mathrm{Hom}(-,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$.
คำตอบ
$\newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Ch}{\mathrm{Ch}} \newcommand{\Fun}{\mathrm{Fun}}$ ปล่อย $\Ch(\Z)$เป็นหมวดหมู่แบบจำลองเชิงเส้นของคอมเพล็กซ์โซ่ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า$D_\infty(\Z)$.
ยิ่งไปกว่านั้น $\Fun(I,\Ch(\Z))$ ด้วยโครงสร้างแบบจำลองการฉายภาพที่นำเสนอ $\Fun(I,D_\infty(\Z))$, และแน่นอนว่า $\Fun(I,D^b_\infty(\Z))$ เป็นหมวดหมู่ย่อยที่เสถียรเต็มรูปแบบของ $\Fun(I,D_\infty(\Z))$ดังนั้นช่องว่างการทำแผนที่ (ในความเป็นจริงการทำแผนที่สเปกตรัมเช่นกัน) จึงเหมือนกับพื้นที่ในช่วงหลัง
แต่ตอนนี้ $\Fun(I,\Ch(\Z)) \cong \Ch(\Fun(I,\Z-\mathrm{Mod}))$ด้วยโครงสร้างแบบจำลองการฉายภาพทุกที่ดังนั้นจึงสามารถคำนวณช่องว่างการแม็ปได้ตามปกติ: ด้วยความละเอียดแบบฉายภาพ (ใน $\Fun(I,\Z-\mathrm{Mod})$).
ดังนั้นคำถามของคุณจึงเป็นคำถามเกี่ยวกับ cohomology functor ซึ่งเป็นเรื่องที่ได้รับการศึกษามาอย่างดีพร้อมด้วยเทคนิคต่างๆ
(หมายเหตุ: สำหรับขนาดเล็ก $I$. ฉันไม่แน่ใจว่าจะเข้าใจคำถามได้อย่างไรเมื่อ$I$ ไม่เล็ก)