Expecation และ Independence

Question

สมมติว่าเรามีตัวแปรสุ่มอิสระสามตัว X, Y และ Z โดยที่ $X$ และ $Y$ มีการกระจายเหมือนกันและ $Z$มีการแจกแจงแบบสมมาตรรอบศูนย์ โดยสัญชาตญาณใครจะเชื่ออย่างนั้น
$$ \Pr(X\le Z |Y\le Z) = \Pr(X\le Z) $$เนื่องจากความเป็นอิสระ อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มพิสูจน์ได้ที่ไหน ถ้าเงื่อนไขเราจบ$Z$จากนั้นเราจะจบลงด้วยอินทิกรัลที่ไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายต่อไป: $$ \int_z\Pr(X\le z ,Y\le z) dP(z) = \int_z\Pr(X\le z)\Pr(Y\le z) dP(z) $$คำแนะนำใด ๆ ? มันเป็นเรื่องจริงหรือไม่?

Answer 1

โดยทั่วไปไม่เป็นความจริงให้พิจารณากรณีที่ $Y$เป็นค่าคงที่ ในกรณีนั้นการปรับสภาพในกรณีที่มีค่าน้อยกว่า$Z$ ให้ข้อมูลเกี่ยวกับมูลค่าของ $Z$.