ฟังก์ชันเบต้าสำหรับ QED
ฟังก์ชันเบต้าสำหรับอิเล็กโทรดพลศาสตร์ควอนตัมคืออะไร?
ฉันไม่พบที่ใดเลยยกเว้นในบทความ Wikipedia เกี่ยวกับฟังก์ชันเบต้าซึ่งฟังก์ชันเบต้าแบบลูปเดียวมอบให้โดย:$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ อย่างไรก็ตามการใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันเบต้า $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ หนึ่งได้รับ: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
หลังจากจัดเรียงใหม่ $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ และบูรณาการ $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ ที่ไหน $C = -\ln(\mu_0)$ เป็นค่าคงที่การรวมผลลัพธ์คือ: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ สิ่งนี้ให้ค่าที่เพิ่มขึ้นอย่างจำเจไม่เป็นลบสำหรับ $\alpha$ สำหรับ $\mu < \mu_0$ ด้วยค่าเอกฐานที่ $\mu_0$ (เดาว่าน่าจะเป็นเสากุ๊บ)
อย่างไรก็ตามสำหรับค่า จำกัด ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $\mu_0$, $\alpha(0)$ น่าจะเป็น $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ ในทางกลับกัน $\alpha \approx 1/137$ ควรปรากฏในพลังงานต่ำแทนที่จะเป็นศูนย์
จับได้ที่ไหน?
มีคำที่หายไปจากฟังก์ชันเบต้าข้างต้นหรือไม่? ตัวอย่างเช่นการแทนที่$\alpha^2$ ด้วย $(\alpha - \alpha_0)^2$ควรให้ผลลัพธ์ที่คาดหวัง แต่ดูเหมือนจะไม่ได้เขียนแบบนั้นทุกที่ อย่างไรก็ตามการแทนที่นั้นส่อนัยว่าเงียบ ๆ หรือไม่
คำตอบ
ขั้นแรกให้แก้ไขพีชคณิตเล็กน้อย
ฉันติดตามคุณถึงที่นี่
\ เริ่ม {สมการ} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {สมการ}
จากนั้นฉันคิดว่าเราต้องดำเนินการอย่างรอบคอบ วิธีที่ฉันจะไปคือการรวมจากมาตราส่วนอ้างอิง$\mu_0$ เป็นระดับพลังงาน $q$. จากนั้น\ เริ่ม {สมการ} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {สมการ } การจัดเรียงอัตราผลตอบแทนนี้\ start {สมการ} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {สมการ}
หากคุณต้องการคุณสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อรับ\ begin {สมการ} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {สมการ}
ในการรับสิ่งนี้เราได้สันนิษฐานโดยปริยายว่าเราสามารถใช้การประมาณค่าหนึ่งลูปกับฟังก์ชันเบต้า สิ่งนี้กำหนดให้ไม่ปรากฏสิ่งที่เรียกว่า "บันทึกขนาดใหญ่" ในทางปฏิบัติหมายถึงการเลือกมาตราส่วนอ้างอิง$\mu_0$ ที่ไม่แตกต่างจากระดับพลังงานของกระบวนการที่คุณสนใจมากเกินไป $q$.
โดยการ $q \ll \mu_0$คุณกำลังทำลายข้อสันนิษฐานนี้และจะต้องกลับมาใช้งานบันทึก loarge ในฟังก์ชันเบต้า
หรือคุณสามารถเลือกมาตราส่วนอ้างอิง $\mu_0$ ซึ่งขึ้นอยู่กับพลังของการทดลองที่คุณสนใจด้วยพลังงานต่ำ $\alpha(\mu_0)$ มีขนาดเล็กและอื่น ๆ $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
หากสิ่งนั้นดูไม่น่าพึงพอใจ (ฉันหมายถึงพลังงานขนาดใหญ่?) เพียงแค่สังเกตว่า $\alpha(q)$ จะเพิ่มขึ้นเล็กน้อยเมื่อเพิ่มขึ้น $q$. หากคุณยังคงจับคู่$\mu_0$ ถึงระดับพลังงาน $q$ในที่สุดคุณจะไปถึงจุดที่ $\alpha(\mu_0)$ คำศัพท์ในตัวส่วนไม่สามารถละเลยได้สำหรับช่วงที่เห็นได้ของ $q$.