Fulton เส้นโค้งพีชคณิต 4.8

Question

ปล่อย $V=\mathbb{P}^1$พร้อมวงแหวนพิกัดที่สอดคล้องกัน $\Gamma_h(V)=k[X,Y]$. ปล่อย$t=X/Y\in k(V)$. คำถามดังต่อไปนี้:

1. แสดง $k(V)=k(t)$.
2. มีการติดต่อกัน 1-1 ระหว่างจุดของ $\mathbb{P}^1$ และฟิลด์ผลหารของ DVR $k(V)$ ที่มี $k$.

ฉันสามารถแก้ 1 ได้ แต่ฉันไม่รู้ว่า 2 ฉันคิดว่า DVR ที่ต้องการคือ $O_p(V)$ (วงแหวนท้องถิ่นของ V ที่ p) แต่ฉันไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าทำไมอุดมคติสูงสุด $\mathfrak{m}_p(V):=\{f/g : g(p)\neq0 , f(p)=0\}$ ถือเป็นอุดมคติหลักและในทางกลับกันทำไมวงแหวนท้องถิ่นของ V ที่ p จึงเป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่มีเขตข้อมูลผลหาร $k(V)$ ที่มี $k$. ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

แก้ไข Fulton $k$ ปิดด้วยพีชคณิตหลังจากส่วนที่ 3 ดังนั้นให้ $k$ ปิดทางพีชคณิต

ปก $\Bbb P^1_k$ ด้วยแผนภูมิ Affine มาตรฐาน $D_+(x)\cong \text{Spec}(k[y/x])$ และ $D_+(y)\cong\text{Spec}(k[x/y])$. จากนั้นก้านที่จุดปิดของ$\Bbb P^1_k$ isomorphic ถึง $k[s]_{\mathfrak{p}}$ ที่ไหน $\mathfrak{p}$ เป็นอุดมคติสูงสุด (จึงมีความสูง $1$ซึ่งในกรณีนี้ $\text{dim}(k[s]_\mathfrak{p})=1$).

วงแหวนประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องเป็นอีกชื่อหนึ่งสำหรับวงแหวนมิติในพื้นที่ปกติ $1$ดังนั้น $k[s]_\mathfrak{p}$เป็นเครื่องบันทึกภาพ แก้ไข$t=y/x$. ถ้า$A$ เป็นเครื่องบันทึกภาพดังกล่าว $k\subset A\subset k(t)$แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง $t\in A$ หรือ $t^{-1}\in A$ (และด้วยเหตุนี้ $k[t]\subset A$ หรือ $k[t^{-1}]\subset A$). ในกรณีที่$k[t]\subset A$การทำสัญญาในอุดมคติสูงสุด $\mathfrak{m}\subset A$เราเห็นว่า $\mathfrak{m}\cap k[t]$ สูงสุดคือสร้างขึ้นโดยบางคน $(t-a)$และเนื่องจากองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของ $A\backslash\mathfrak{m}$ กลับไม่ได้ $k[t]_{(t-a)}\subseteq A$และสิ่งเหล่านี้มีช่องเศษส่วนเท่ากันดังนั้นจึงมีค่าเท่ากัน

กลับไปที่ $\Bbb P^1_k$, ปล่อย $a\ne 0$ และพิจารณา $(bx-ay)\in\Bbb P^1_k$ซึ่งเป็นของ $D_+(x)$และสอดคล้องกับ $(a(y/x)-b)\in \text{Spec}(k[y/x])$. ก้านที่จุดนี้คือ isomorphic ถึง$k[t]_{(at-b)}$ ด้วยอุดมคติสูงสุด $(at-b)k[t]_{(at-b)}$. ตัวอย่างนี้แสดง DVR ทั้งหมดที่มีช่องเศษส่วน$k(t)$ ซึ่งประกอบด้วย $k$ ยกเว้นรายการที่สอดคล้องกับ $a=0$ (ซึ่งสอดคล้องกับ $(x)\in D_+(y)$ และด้วยเหตุนี้วงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง $k[x/y]_{(x/y)}\cong k[t^{-1}]_{(t^{-1})}\subset k(t)$).