หาลิมจีบ
ฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหานี้ได้ ฉันได้ลองใช้คำจำกัดความของ lim sup แต่ไม่พบที่ไหน
พิจารณาซีรี่ส์: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$
แล้ว $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$
แก้ไข: นี่คืองานที่ฉันทำเมื่อคืนวานนี้ ขอโทษที่ไม่ได้แสดงผลงาน
ฉันได้ดูลำดับแล้ว $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. ฉันสังเกตว่ามันดูเหมือน$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.
ดังนั้นข้อกำหนดทั่วไปจึงมีลักษณะดังนี้ $(\frac{2}{3})^n$ สำหรับ $n$ คี่และ $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ สำหรับ $n$ แม้
ฉันมองไปที่ส่วนท้ายสุดของลำดับหางจากนั้นก็ตัดสินใจที่จะหาจำนวนที่ไม่สิ้นสุด ลำดับที่ฉันพบมี$\infty$ เป็นซูพรีมัมของแต่ละลำดับหางตั้งแต่ลำดับสำหรับ $n$แม้จะเพิ่มขึ้นอย่างจำเจ ดังนั้นฉันจึงสรุปได้ว่า Limsup ควรจะเป็น$\infty$. อย่างไรก็ตามคำตอบที่ได้รับคือ$\frac{1}{2}$.
ลำดับนี้แน่นอนว่าเป็นความผิดพลาดเนื่องจากเลขชี้กำลังที่ฉันเลือกผิด
ลำดับดูเหมือนจริง $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$
แต่ถึงกระนั้นลำดับของส่วนท้ายของหางประกอบด้วยเท่านั้น $\infty$ และด้วยเหตุนี้จำนวนน้อยที่สุดของซูพรีมจึงคือ $\infty$. ฉันขาดอะไรไป?
คำตอบ
ข้อโต้แย้งของคุณเป็นไปด้วยดีและ "โจร" ในข้อนี้เป็นผู้กำหนดปัญหาที่ทำให้มันไม่ชัดเจนว่าอย่างไร $a_{n}$จะต้องแสดงออก สิ่งที่ฉันพบว่าเป็นจริงสำหรับผู้เขียนบางคนก็คือ เมื่อมีข้อสงสัยหนังสือเรียนคณิตศาสตร์จะเขียนเป็น "สาม" เสมอ
ถ้าแทนที่จะรักษา $a_{n}$ เป็นลำดับของการสลับอำนาจซึ่งกันและกันของ $2$ และ $3$เราใช้เวลา $a_{n}$ เป็นลำดับของอำนาจที่เท่าเทียมกันเช่นเดียวกับใน $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$จากนั้นเราจะได้รับรายละเอียดอื่น (และในการมองย้อนกลับไปเป็นจริง) ของซีรีส์ที่เป็นปัญหา ตามลำดับการคำนวณต่อไปนี้เราไปถึง$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:
ก่อนอื่นโดยเขียนใหม่ $a_{n}$ เราได้ตัวส่วนร่วม $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ และอื่น ๆ
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$
การหารตัวเศษและตัวส่วนโดย $3^{n+1}$ เรามาถึงที่ $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ ตั้งแต่ตอนนี้ $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ เราได้รับสิ่งนั้น $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ เพราะ $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ สำหรับลำดับ $x_{n}$ ซึ่งมาบรรจบกันเราสามารถสรุปได้ว่า $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.