หา $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

จากตรงนั้นฉันเห็นว่า $e^x$ แนวทาง $0$ ในขณะที่ $\cos{x}$ แกว่งระหว่าง $-1$ และ $1$.

คำตอบของฉันคือขีด จำกัด ไม่ได้อยู่ เหตุผลที่เหมาะสมในการอธิบายเรื่องนี้คืออะไร? ขีด จำกัด แกว่งตลอดไปหรือไม่$\pm\infty$ฯลฯ ?

Answer 1

ใช่ความคิดของคุณถูกต้องเพื่อแสดงให้เห็นว่าอย่างเคร่งครัดให้พิจารณาสิ่งนั้นเพื่อ $x_n= -2\pi n \to -\infty$ เช่น $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

และสำหรับ $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

ดังนั้นจึงไม่มีขีด จำกัด

Answer 2

ใช้ $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, ที่ไหน $k$ เป็นจำนวนเต็มและ $k\rightarrow-\infty$.

เราเห็นว่า $e^{-x}\cos{x}=0.$

ในอีกทางหนึ่งสำหรับ $x=\pi k$ และ $k\rightarrow-\infty$ เรามี $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$.

หมายเลขโดยประมาณไม่มีขีด จำกัด

Answer 3

ใช้การทดสอบอัตราส่วนกับลำดับ $x=-2\pi n$.