Hermitian semipositive และ Ricci semipositive

Question

ในกระดาษCompact Kähler Manifolds กับ Hermitian semipositive anticanonical bundleผู้เขียนได้ให้คำจำกัดความของ Hermitian positivity ของ line bundle

ปล่อย $X$ เป็นท่อร่วมKählerขนาดกะทัดรัดชุดสาย $L$ ได้รับการกล่าวว่าเป็น Hermitian semipositive หากสามารถติดตั้งเมตริก Hermitian แบบเรียบของรูปโค้งกึ่งบวกได้

และคำถามของฉันคือ: ใช้กลุ่มยาป้องกันโรค $-K_X$ Hermitian semipositive นั้นเทียบเท่ากับรูปแบบ Ricci ของ $X$semipositive คืออะไร? ถ้าฉันพูดถูกเซมิโพซิทีฟจะเทียบเท่ากับไม่เป็นลบดังนั้นหากเซมิโพซิทีฟของ$-K_X$ เทียบเท่ากับ Ricci semipositivity แล้ว $X$แบ่งออกได้เป็น 2 กรณีคือ Ricci flat manifolds และ Fano (Ricci positive) นั้นใช่หรือไม่? ยินดีต้อนรับความคิดเห็นใด ๆ ขอบคุณล่วงหน้า

Answer 1

จากคำจำกัดความของคุณไฟล์ $-K_X$ เป็นกึ่งบวกถ้าคุณสามารถให้ได้ $-K_X$ เมตริกฤาษี $h$ เพื่อให้ความโค้งสองรูปแบบของ $h$เป็นกึ่งบวก นี้$h$ อาจไม่เกี่ยวข้องกับเมตริกเดิมของKähler $g$.

ในทางกลับกันเรามีสิ่งต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (Calabi-Yau) : ให้$(M, \omega)$เป็นท่อร่วมKählerขนาดกะทัดรัด จากนั้นสำหรับสองรูปแบบ$\Omega$ เป็นตัวแทนของชั้นเรียน $\pi c_1(-K_X)$มีเมตริกของKählerที่เป็นเอกลักษณ์ $\bar \omega \in [\omega]$ ดังนั้น $\operatorname{Ric}(\bar \omega) = \Omega$.

ดังนั้นถ้า $-K_X$ เป็นแบบกึ่งบวกหนึ่งสามารถค้นหาเมตริกของKähler $\bar \omega$ บน $M$ ด้วยรูปแบบ Ricci กึ่งสังเคราะห์

ไม่จริงมีแค่เคส Ricci-flat และ Fano เท่านั้น เนื่องจากเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบคุณไม่สามารถบอกได้ว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นศูนย์หรือทั้งหมดเป็นบวก

ตัวอย่างเช่น, $\mathbb P^1 \times T^2$ เมื่อเปิดใช้เมตริก Fubini-Study มาตรฐาน $\mathbb P^1$ และเมตริกแบบยุคลิดบน $\mathbb T^2$ ไม่ใช่ Ricci แบนไม่ใช่ Fano แต่มีความโค้ง Ricci แบบกึ่งสังเคราะห์