หลักฐานที่ดีกว่าของอสมการเชิงตัวเลขของ $e^x$
อสมการคือ
$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$
ฉันพิสูจน์แล้วโดยแบ่งออกเป็น 3 กรณี: $-3<z<0$, $z=0$ และ $0<z<3$.
สำหรับ $z=0$ทั้งสองข้างเท่ากับ
อีก 2 กรณีทำด้วยแคลคูลัส กำหนด$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ แล้วแทนที่ $|x|$ โดย $x$ หรือ $-x$ตามนั้น จากนั้นตรวจสอบอนุพันธ์
แต่ในความคิดของฉันมันเป็นสัตว์เดรัจฉานดังนั้นฉันจึงสงสัยว่ามีวิธีที่เร็วกว่า (ฉลาดกว่า) ในการแสดงหรือไม่
คำตอบ
โปรดทราบว่าถ้า $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}