Isomorphism ของผลิตภัณฑ์โดยตรง

Question

ถ้า $G, A, B$ เป็นกลุ่มมันไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป $G\times A\cong G\times B \implies A\cong B$. ตัวอย่างเช่น$G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\cdots, A=\mathbb{Z}, B=\{1\}$.

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ $G,A,B$ถูก จำกัด ให้จำกัด ? มีกลุ่ม จำกัด หรือไม่$G,A,B$ ดังนั้น $G\times A\cong G\times B$แต่ $A\not\cong B$เหรอ?

Answer 1

ถ้า $G$ เป็นไปตาม ACC และ DCC (เงื่อนไขโซ่ขึ้นและลง) ในกลุ่มย่อยปกติซึ่งใช้เมื่อ $G$ เป็นที่แน่นอนแล้ว $A \cong B$.

คนไทยตามมาจากทฤษฎี Krull-Schmidtซึ่งพิสูจน์ได้ยากพอสมควร