แก้ $ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $

Question

ฉันพยายามอย่างมากกับสมการนี้ แต่ดูเหมือนจะไม่ได้ผล: $$ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $$ฉันลองกำลังสอง แต่มันให้สมการกำลังสองที่ฉันแก้ไม่ได้
ความคิดใด ๆ กรุณา?

Answer 1

$$ x = 54 + \sqrt{54 - \sqrt{x}} \\ k = 54 - \sqrt{x} \\ t = x-54 \\ k+t = x - \sqrt{x}$$

ดังนั้น:

$$ t = \sqrt{k} \\ t^2 = k \\ t^2 + t = t(t+1) = k+t = x - \sqrt{x} = \sqrt{x}( \sqrt{x} - 1)$$

$$t = \sqrt{x} -1 ~~ \text{and} ~~ t+1 = \sqrt{x} $$

$$ t = x-54 \\ (t+1)^2 = x \\ (x-53)^2 = x$$

ซึ่งเป็นสมการกำลังสองอย่างง่ายคุณจะได้ $2$ ผลลัพธ์หนึ่งในนั้นจะไม่ถูกต้องเพราะมันจะทำให้ LHS ของสมการของคุณเป็นลบ (หลังจากคุณ "ย้าย" 54 ไปทางซ้าย) และเรารู้ว่ารากที่สองเหนือค่าเรียลให้คำตอบที่เป็นบวก

Answer 2

เราสามารถใส่ $y=54-\sqrt{x}$ เพื่อให้ได้ระบบสมการ \begin{align} x-54&=\sqrt{y}\\ y-54&=-\sqrt{x}. \end{align} กำลังสองและลบออกจากกัน (โดยใช้ความจริงที่ว่า $x,y \geq 0$) สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้น $$ (y-x)(108-x-y)=y-x. $$ ตั้งแต่ $y \neq x$ (มิฉะนั้นระบบข้างต้นจะให้ผล $-\sqrt{x}=\sqrt{y}$ และอื่น ๆ $x=y=0$เป็นไปไม่ได้) เรามี $108-x-y=1$. เสียบมันเป็นหนึ่งในสมการที่เราได้$x-54=\sqrt{107-x}$ดังนั้นเราต้องแก้สมการกำลังสอง $$ (x-54)^2=107-x. $$ นั่นควรจะเป็นการออกกำลังกายที่ตรงไปตรงมาโดยให้รากที่แท้จริงสองรากเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่จะตอบสนอง $x -54 \geq 0$.

Answer 3

ด้วย $x=t^2$, $$(t^2-54)^2=54-t$$ คือสมการควอร์ติก

แม้ว่า CAS จะบอกเราว่าโซลูชันมีนิพจน์ที่ค่อนข้างเรียบง่าย แต่ฉันก็ไม่เห็นวิธีใดที่จะเข้าถึงได้ดีไปกว่าวิธีการแก้ปัญหามาตรฐานของควอร์ติก