กำหนดการปิดของชุด

Question

ให้เป็น $ (V,\|\cdot\|) $ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน $ \|\cdot\| $. พิจารณาโดยพลการ$ x \in V $ ก $ \varepsilon $- ลูกของ $ x $: $$ B_\varepsilon (x) = \{y\in V:\ \|x-y\|<\varepsilon\}. $$

จากนั้นการปิดบอลนี้คือ: $$ \overline{B_{\varepsilon}(x)}=\{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

ปัญหา: ฉันเข้าใจไม่ได้ว่าคุณเข้าสู่นิพจน์นี้อย่างไร ฉันรู้เพียงคำจำกัดความประเภทนี้ของการปิดชุด:

ให้เป็น $ (X,d) $ ช่องว่างเมตริกและ $ T\subseteq X $. ชุด $$ \overline{T}=\bigcap(\{A\subseteq X:\ A\supseteq T\text{ is closed}\}) $$ เรียกว่าการปิด $ T $.

ตอนแรกฉันเสียบ $ \varepsilon $- เข้าสู่คำจำกัดความนี้:

$$ \overline{B_\varepsilon(x)}=\bigcap(\{A\subseteq V:\ A\supseteq B_\varepsilon(x)\text{ is closed}\}) $$

จากที่นี่ฉันไม่รู้ว่าจะมาถึงตัวตนได้อย่างไร $$ \overline{B_\varepsilon (x)} = \{y\in V:\ \|x-y\|\leq \varepsilon\}. $$

Answer 1

ถ้า $C$ ถูกปิดและมี $B_{\epsilon} (x)$ จากนั้นก็ประกอบด้วย $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$: เอา ๆ $y$ ด้วย $\|x-y\|\leq \epsilon$ และพิจารณา Let $0<t<1$ และ $z=x+t(y-x)$. แล้ว$z \in B_{\epsilon} (x)$. เราต้องพิสูจน์สิ่งนั้น$y \in C$. ถ้าไม่อย่างนั้น$y$ อยู่ในชุดเปิด $C^{c}$ ดังนั้นจึงมีอยู่ $r>0$ ดังนั้น $B_{r} (y)\subseteq C^{c}$. แต่$\|z-y\| <r$ ถ้า $t >1-r/\|x-y\|$. ด้วยประการฉะนี้$z \in C^{c}$ ซึ่งเป็นส่วนย่อยของ $B_{\epsilon} (x)^{c}$. เรามาถึงความขัดแย้ง [$A^{c}$ หมายถึงส่วนเติมเต็มของ $A$]. เราได้พิสูจน์แล้วว่า$ \{x: \|x-y\|\leq \epsilon\} \subseteq \overline {B_{\epsilon} (x)}$.

การรวมแบบย้อนกลับมาจากความจริงที่ว่า $\{x: \|x-y\|\leq \epsilon\}$ เป็นชุดปิดซึ่งประกอบด้วย $B_{\epsilon} (x)$.