การประเมินการ $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

ประเมิน $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

ชุด $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

อินทิกรัลจึงกลายเป็น $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

ชุด $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$ดังนั้น $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ และ $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

แต่คำตอบที่ถูกต้องคือ $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

ใครช่วยบอกหน่อยได้ไหมว่าข้อผิดพลาดของฉันอยู่ตรงไหนและเป็นวิธีที่ดีกว่าในการแก้ปัญหา ขอบคุณ!

Answer 1

ไม่มีพลาดครับ $C$ เป็นค่าคงที่โดยพลการและ $-\frac 3 2+C$ เป็นเพียงค่าคงที่อีกค่าหนึ่ง $C'$. และไม่มีวิธีใดที่ดีกว่าในการตอบคำถามนี้

Answer 2

วิธีทางเลือก

พิจารณา, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ การจัดเรียงใหม่ $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ ดังนั้นการผสมผสานทั้งสองด้านเข้าด้วยกันคุณจะได้รับคำตอบ

Answer 3

คำตอบของคุณถูกต้องเป็นค่าคงที่บวกค่าคงที่อีกค่าหนึ่งสามารถแทนค่าคงที่ต่างกันได้ $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

คุณสามารถรวมตามส่วนต่างๆและปล่อยให้ $u=\ln(2x+3)$ และ $dv=dx$. แล้ว$du=\frac{2}{2x+3}$ และเราสามารถทำได้ $v=x+\frac{3}{2}$. ก็เป็นไปตามนั้น\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} อย่างที่คาดไว้!