การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Noether

Question

ฉันพยายามทำความเข้าใจตัวอย่างหนึ่งของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Noether ที่ให้ไว้ในAn Introduction to Quantum Field Theory ของ Peskin & Schroeder (หน้า 18, Student Economy Edition) ส่วนที่เกี่ยวข้องของข้อความได้รับด้านล่าง

ถ้าฉันเข้าใจที่มาและการสนทนาที่สอดคล้องกันที่นี่อย่างถูกต้องก็จะถือว่าความหนาแน่นของ Lagrangian$\mathcal{L}$ เป็นไปตามสมการของออยเลอร์ - ลากรองจ์: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

ความสับสนของฉัน:ฉันไม่เห็นวิธีการ$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$เป็นไปตามสมการของออยเลอร์ - ลากรองจ์ เพราะอยู่ทางซ้ายมือเลยค่ะ$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$ทางด้านขวามือฉันจะได้รับ $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ หากได้รับ $\mathcal{L}$ไม่เป็นไปตามสมการของ Euler-Lagrange แล้วสูตรของ Peskin & Schroeder จะนำไปใช้กับกรณีนี้ได้อย่างไร? ฉันขาดอะไรไปที่นี่?

Answer 1

คุณเขียนสมการออยเลอร์ - ลากรองจ์ถูกต้อง ดังนั้นเมื่อคุณทำให้มันง่ายขึ้นคุณจะได้สมการการเคลื่อนที่ (เช่นเดียวกับที่คุณกล่าวไว้ในคำถามของคุณ):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ โปรดทราบว่าไม่มีอะไรแปลกประหลาดเกี่ยวกับเรื่องนี้เพราะถ้าคุณใช้ Lagrangian กับคำว่าพลังงานศักย์ด้วยเช่นกัน $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ สมการการเคลื่อนที่ที่คุณได้รับคือ $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$สิ่งที่เรากำลังทำอยู่นี้คือการเสียบปลั๊ก $m=0$ซึ่งให้สมการแรกกลับคืนมา

ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องแสดงว่าคุณกำลังมีปัญหากับสมการของออยเลอร์ - ลากรองจ์ "พอใจ" ฉันขอชี้แจงเรื่องนี้โดยการแก้ไขคำชี้แจงของคุณ: การพูดว่า "Lagrangian" ไม่ถูกต้อง$\mathcal{L}$เป็นไปตามสมการของออยเลอร์ - ลากรังเกียน มันคือ "สนาม"$\phi$ ที่เป็นไปตามสมการของออยเลอร์ - ลากรองจ์

สมการออยเลอร์ - ลากรองจ์คือ $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$ซึ่งให้นิพจน์ที่แตกต่างกันบน LHS ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณใช้ Lagrangian (เราได้เห็นสองตัวอย่างด้านบนแล้ว) คุณถือเอานิพจน์บน LHS เป็นศูนย์เพื่อรับสมการออยเลอร์ - ลากรองจ์ (หรือสมการการเคลื่อนที่) และแก้ปัญหาสำหรับ$\phi$.

ฉันหวังว่านี่จะช่วยให้ปัญหานี้กระจ่างขึ้น

Answer 2

สมการ Euler-Lagrange ไม่เป็นที่พอใจโดยอัตโนมัติ $\mathcal{L}$. มันเป็นวิธีอื่น ๆ ให้$\mathcal{L}$คุณสามารถหาสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกที่พอใจได้จากฟิลด์ $\phi$. นี่เหมือนกับการให้สูตรสำหรับแรงในกลศาสตร์นิวตัน แม้ว่าคุณจะรู้$F$คุณยังต้องรู้กฎข้อที่สองของนิวตัน $F=ma$เพื่อค้นหาการเคลื่อนไหว ที่นี่ด้วย: ได้รับ$\mathcal{L}$คุณยังต้องใช้ "กฎ" (สมการ EL) เพื่อค้นหาการเคลื่อนที่

Answer 3

สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าก็เป็นสิ่งสำคัญมากที่หนึ่งในขั้นตอนการใช้ออยเลอร์-Lagrange (EL) สมการในการประยุกต์ใช้ของNoether ของ (ตอนแรก) ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทแรกของ Noether มี 2 ด้าน:

• อินพุต: global off-shell$^1$ (กึ่ง) สมมาตร ที่นี่ไม่ควรใช้ EOM ( สมมาตรบนเปลือกเป็นความคิดที่ว่างเปล่าเพราะเมื่อใดก็ตามที่เราเปลี่ยนแปลงการกระทำ$\delta S$ อย่างไม่ จำกัด และใช้ EOM ตามความหมาย $\delta S\approx 0$ หายไปเงื่อนไขขอบเขตโมดูโล)

• ผลลัพธ์: สมการความต่อเนื่องบนเชลล์ ที่นี่ควรใช้ EOM (ถ้ามันเกิดขึ้นจะถือออกเปลือกเช่นกันมันเป็นเพราะความสมมาตรทั่วโลกเป็นส่วนหนึ่งของ / วัดสมมาตรท้องถิ่นที่ใหญ่กว่า. ดูNoether ทฤษฎีบทที่สองและเช่นนี้โพสต์ Phys.SE.)

-

$^1$คำว่าon-shellและoff-shellหมายถึงว่าสมการ Euler-Lagrange (EL) (= EOM) เป็นที่พอใจหรือไม่