เครื่องเล่นและตั๋ว
คุณเป็นหนึ่งในผู้เล่น N ที่จะเข้าร่วมการแข่งขัน ลอตเตอรีใช้เพื่อกำหนดตำแหน่งของผู้เล่นแต่ละคน คุณมีข้อได้เปรียบ ตั๋วสองใบที่มีชื่อของคุณจะถูกใส่ไว้ในหมวกในขณะที่สำหรับผู้เล่นคนอื่น ๆ แต่ละคนจะมีเพียงใบเดียวที่มีชื่อของเธอ / ของเขาเท่านั้นที่ใส่ไว้ในหมวก หมวกถูกเขย่าอย่างดีและมีการดึงตั๋วทีละใบจากหมวก ลำดับของชื่อที่ปรากฏจะกำหนดตำแหน่งของผู้เล่นแต่ละคน ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับมอบหมาย$n$ตำแหน่งสำหรับ $n = 1, 2, . . . , N$เหรอ?
ความน่าจะเป็นที่ชื่อของฉันถูกดึงออกมา $k$ความพยายามคือ $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (กล่าวคือ $k-1$ ความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งแรกที่ $k$). ฉันรู้ว่าทางออกคือ$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
ปล่อย $A_i$ เป็นเหตุการณ์ที่ชื่อของฉันแสดงขึ้นที่ $i$ความพยายาม ดังนั้น:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
ดังนั้นฉันจึงคิดว่า
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
แต่ฉันไม่สามารถนำฉันไปสู่ผลิตภัณฑ์ด้านบนได้ ฉันผิดตรงไหน?
คำตอบ
ฉันได้ผลลัพธ์ (เกือบ) เช่นเดียวกับคุณภายใต้สมมติฐาน "เมื่อมีการวาดและวางชื่อแล้วตั๋วในอนาคตที่มีชื่อนั้นจะถูกละเว้น":
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
มี $n-1$ เงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับข้อแรก $n-1$การจับฉลากไม่สำเร็จและครั้งสุดท้ายที่จับได้สำเร็จ ตัวหารลดลง 1 ในแต่ละปัจจัยเนื่องจากจำนวนตั๋วที่จะดึงจากการลดลง 1 ครั้งหลังจากการจับรางวัลแต่ละครั้ง สำหรับครั้งแรก$n-1$ เงื่อนไข (การดึงที่ไม่สำเร็จ) ตัวแจงนับจะลดลง 1 เช่นกันดังนั้นความแตกต่างระหว่างตัวหารและตัวแจงจะเป็นเสมอ $2$ ในเงื่อนไขเหล่านั้น (แทนตั๋ว 2 ใบของคุณ)
ผลลัพธ์นั้นสามารถเขียนเป็น
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
"โซลูชันที่ทราบ" ของคุณกำลังให้ผลิตภัณฑ์เปล่าสำหรับ $n=1$นั่นจะหมายถึงความน่าจะเป็น 1 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้อง ดังนั้นโปรดตรวจสอบว่าคุณคัดลอกอย่างถูกต้องหรือไม่
โซลูชันของคุณลดความซับซ้อนลงอย่างมาก ด้วยเหตุผลบางอย่าง \ ยกเลิกไม่ได้ผลฉันจึงพยายามระบุความหมายโดยแสดงคำที่ยกเลิกด้วยสีเดียวกัน ฉันสามารถแสดงคำศัพท์สองสามคำแรกด้วยวิธีนี้ได้เท่านั้น
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
นี่เป็นวิธีที่ดีกว่าที่จะทำ
ปล่อย $1\leq n\leq N$ได้รับ
ปล่อย$A$ เป็นกรณีที่ชื่อของคุณอยู่บน $n$ตั๋ว th. ปล่อย$B$ เป็นกรณีที่คุณไม่ได้ระบุชื่อในตั๋วใด ๆ $1,2,\dots,n-1$. เราแสวงหา$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
เทอมแรกเห็นได้ชัด อย่างที่สองก็มี$N$ สถานที่ที่สามารถใช้ตั๋วใบอื่นที่มีชื่อของคุณได้และ $N+1-n$ ของพวกเขามาหลังจาก $n$ตั๋ว th.
หากคุณทำตามที่อธิบายไว้ข้างต้นคุณจะได้รับคำตอบง่ายๆนี้
บางทีฉันอาจไม่เข้าใจว่าการทดลองความน่าจะเป็นนี้กำลังดำเนินการอย่างไร แต่ฉันได้รับคำตอบที่แตกต่างจากคนอื่น ๆ อาจมีใครบางคนสามารถชี้ให้เห็นว่าเหตุใดเหตุผลของฉันจึงไม่เหมาะสมถ้ามี?
สมมติว่าเมื่อเลือกชื่อผู้เล่นแล้วตั๋วในอนาคตที่มีชื่อนั้นจะถูกละเว้น
สามารถจับฉลากได้หลายวิธีเพื่อให้ชื่อของคุณปรากฏในไฟล์ $n^{th}$ สล็อตคือ ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
จำนวนวิธีที่สามารถจับสลากได้ทั้งหมดคือ ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
การหารสองสิ่งนี้ทำให้เกิดความเป็นไปได้ $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
เพื่อดูสิ่งนี้เราสามารถดูตัวอย่างเฉพาะ สมมติว่าคุณเป็นคน # 1 ที่เล่นลอตเตอรีด้วย$N-1=2$ คนอื่น ๆ และ $ \{1,1^*\} $ หมายถึงตั๋วร่วมสองใบของคุณจาก $N+1=4$ตั๋วในหมวก เราจะแสดงการรวบรวมตั๋วทั้งหมดในหมวกโดย$\{1,1^*,2,3\}$. เราสามารถแสดงรายการทั้งหมด${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ ลำดับที่เป็นไปได้ของชื่ออย่างชัดเจน: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ ความน่าจะเป็นที่คุณกำหนดให้กับไฟล์ $n^{th}$ ตำแหน่งคือ $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ สำหรับ $n=1,2,3$ ซึ่งเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน